Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando frações parciais. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente da técnica de decomposição em frações parciais. Para isso, vamos precisar quebrar a fração complicada em frações mais simples que sejam mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a fração
como a soma de duas frações mais simples. Ou seja, queremos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 3
Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por
:
Expandindo e organizando os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda equação:
- Substituindo
na primeira equação:
Passo 4
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever a fração original:
Agora, integrando cada termo separadamente:
Sabemos que
, então: