Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando frações parciais. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente da técnica de decomposição em frações parciais. Para isso, vamos precisar quebrar a fração complicada em frações mais simples que sejam mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a fração como a soma de duas frações mais simples. Ou seja, queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por :
Expandindo e organizando os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  1. Substituindo na primeira equação:

Passo 4

Agora que encontramos e , podemos reescrever a fração original:
Agora, integrando cada termo separadamente:
Sabemos que , então:

Resposta

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Calcule as integrais, justificando o raciocínio:
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Esboce a região delimitada pelas curvas e . Determine a área desta região.
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo , para . Para qual valor de esta área é igual a ?