Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais: integral x(x+5)(x-2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x(x+5)(x-2) dx usando frações parciais. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente da técnica de decomposição em frações parciais. Para isso, vamos precisar quebrar a fração complicada em frações mais simples que sejam mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a fração x(x+5)(x-2) como a soma de duas frações mais simples. Ou seja, queremos encontrar constantes A e B tais que:
x(x+5)(x-2) = Ax+5 + Bx-2

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por (x+5)(x-2):
x = A(x - 2) + B(x + 5)
Expandindo e organizando os termos:
x = A x - 2A + B x + 5B
x = (A + B)x + (-2A + 5B)
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo valor de x, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
A + B = 1 (coeficiente de x)
-2A + 5B = 0 (termo constante)
Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação: A = 1 - B
  2. Substituindo na segunda equação:
-2(1 - B) + 5B = 0
-2 + 2B + 5B = 0
7B = 2 implies B = 27
  1. Substituindo B na primeira equação:
A = 1 - 27 = 57

Passo 4

Agora que encontramos A = 57 e B = 27, podemos reescrever a fração original:
x(x+5)(x-2) = 5/7x+5 + 2/7x-2 = 57 cdot 1x+5 + 27 cdot 1x-2
Agora, integrando cada termo separadamente:
integral x(x+5)(x-2) dx = 57 integral 1x+5 dx + 27 integral 1x-2 dx
Sabemos que integral 1x+a dx = ln|x+a| + C, então:
= 57 ln|x+5| + 27 ln|x-2| + C

Resposta

integral x(x+5)(x-2) dx = 57 ln|x+5| + 27 ln|x-2| + C

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