Calcule as integrais de linha:
(d) integralC F. dr, em que F(x, y)=(2 t,-1) e C é a curva dada por x^2+y^2=4, x >= 0 e y >= 0 e o sentido de percurso é de (2,0) para (0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo da curva , que é a parte do círculo onde e . Além disso, o percurso começa em e vai até . Vamos precisar usar parametrização de curvas e calcular a integral usando essas parametrizações.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x = 2 cos theta . Como y = 2 sin theta é a parte do círculo de raio 2 no primeiro quadrante, podemos usar o ângulo para descrever os pontos na curva. A parametrização fica:
Onde varia de a para cobrir do ponto até .

Passo 3

Agora, precisamos expressar dxdtheta = -2 sin theta em termos de dydtheta = 2 cos theta . Derivando dr = ( dxdtheta, dydtheta ) dtheta = (-2 sin theta, 2 cos theta) dtheta e em relação a :
Então,

Passo 4

Agora, substituímos a parametrização na função F(x, y) = (2x, -1) = (2 cdot 2 cos theta, -1) = (4 cos theta, -1) :

Passo 5

A integral de linha integral0^pi2 F(theta) cdot drdtheta dtheta = integral0^pi2 (4 cos theta, -1) cdot (-2 sin theta, 2 cos theta) dtheta agora se torna:

Passo 6

Calculando o produto escalar dentro da integral:
(4 cos theta)(-2 sin theta) + (-1)(2 cos theta) = -8 cos theta sin theta - 2 cos theta
Então, a integral fica:
integral0^pi2 ( -8 cos theta sin theta - 2 cos theta ) dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral termo a termo.
Primeiro, para -8 cos theta sin theta = -4 sin 2theta :
Usamos a identidade integral -4 sin 2theta dtheta = 2 cos 2theta , então:
integral -2 cos theta dtheta = -2 sin theta
Integrando:
Agora, para :

Passo 8

Juntando as integrais:
2 cos 2theta - 2 sin theta g|0^pi2
Calculando nos limites:
Para 2 cos pi - 2 sin pi2 = 2(-1) - 2(1) = -2 - 2 = -4 :
2 cos 0 - 2 sin 0 = 2(1) - 2(0) = 2 - 0 = 2
Para -4 - 2 = -6 :
Subtraindo:

Resposta

A integral de linha é .

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