Calcule as integrais de linha:
(d) . dr, em que e C é a curva dada por e e o sentido de percurso é de para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo da curva , que é a parte do círculo onde e . Além disso, o percurso começa em e vai até . Vamos precisar usar parametrização de curvas e calcular a integral usando essas parametrizações.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como é a parte do círculo de raio 2 no primeiro quadrante, podemos usar o ângulo para descrever os pontos na curva. A parametrização fica:
Onde varia de a para cobrir do ponto até .
Passo 3
Agora, precisamos expressar em termos de . Derivando e em relação a :
Então,
Passo 4
Agora, substituímos a parametrização na função :
Passo 5
A integral de linha agora se torna:
Passo 6
Calculando o produto escalar dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral termo a termo.
Primeiro, para :
Usamos a identidade , então:
Integrando:
Agora, para :
Passo 8
Juntando as integrais:
Calculando nos limites:
Para 2 cos pi - 2 sin pi2 = 2(-1) - 2(1) = -2 - 2 = -4 :