Calcule a integral, utilizando integrais trigonométricas
e) integral sen^5 2 x cdot cos ^4 2 x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral utilizando técnicas de integrais trigonométricas. Para isso, precisaremos utilizar identidades trigonométricas e substituição.

Passo 2

Primeiro, observamos que a potência de integral sin^5(2x) cdot cos^4(2x) , dx = integral sin^4(2x) cdot sin(2x) cdot cos^4(2x) , dx é ímpar ( ). Isso nos permite separar um fator de da expressão:

Passo 3

Agora, usamos a identidade trigonométrica sin^4(2x) = (sin^2(2x))^2 = (1 - cos^2(2x))^2 para reescrever integral (1 - cos^2(2x))^2 cdot sin(2x) cdot cos^4(2x) , dx :
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, fazemos uma substituição para simplificar a integral. Seja dudx = -2 sin(2x) Rightarrow sin(2x) , dx = -du2 . Então, a derivada de - 12 integral (1 - u^2)^2 cdot u^4 , du em relação a é:
Substituindo na integral:

Passo 5

Explicando a teoria: agora temos uma integral em termos de (1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 que é um polinômio. Vamos expandir u^4 cdot (1 - 2u^2 + u^4) = u^4 - 2u^6 + u^8 :
- 12 integral (u^4 - 2u^6 + u^8) , du
Multiplicando pelos :
Então, a integral se torna:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
- 12 ( u^55 - 2u^77 + u^99 ) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos - 12 ( cos^5(2x)5 - 2cos^7(2x)7 + cos^9(2x)9 ) + C de volta na expressão:
- cos^5(2x)10 + cos^7(2x)7 - cos^9(2x)18 + C
Simplificando os termos:

Resposta

A integral - cos^5(2x)10 + cos^7(2x)7 - cos^9(2x)18 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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