Calcule a integral, utilizando integrais trigonométricas
b) integral sen^4 x cdot cos ^3 x d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de em relação a . Para resolver isso, vamos usar integrais trigonométricas, especificamente técnicas de substituição que envolvem funções seno e cosseno. Vamos precisar entender como manipular potências de funções trigonométricas e aplicar identidades trigonométricas para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a potência de cosseno é ímpar ( ). Quando temos uma função com uma potência ímpar de cosseno multiplicada por uma potência de seno, uma estratégia eficiente é separar um cosseno da função e reescrever o restante em termos de seno. Isso facilita a substituição.

Passo 3

Vamos reescrever a integral separando um cosseno:
integral sin^4 x cdot cos^3 x , dx = integral sin^4 x cdot cos^2 x cdot cos x , dx

Passo 4

Agora, usamos a identidade trigonométrica integral sin^4 x cdot (1 - sin^2 x) cdot cos x , dx para substituir :

Passo 5

Vamos fazer a substituição:
u = sin x Rightarrow du = cos x , dx
Isso simplifica a integral para:
integral u^4 (1 - u^2) , du

Passo 6

Agora, expandimos a expressão dentro da integral:
integral (u^4 - u^6) , du

Passo 7

Integramos termo a termo:
integral u^4 , du - integral u^6 , du = u^55 - u^77 + C

Passo 8

Finalmente, substituímos sin^5 x5 - sin^7 x7 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral de é igual a .

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