Calcule as integrais de linhas: , onde é a fronteira do triângulo com vértices e orientado no sentido horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular uma integral de linha ao longo da fronteira de um triângulo com vértices em (1,0), (1,2) e (3,0). A integral que temos é:
Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área do triângulo. Para isso, precisamos lembrar que o Teorema de Green relaciona integrais de linha ao redor de um caminho fechado com integrais duplas sobre a região delimitada por esse caminho.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos as funções e na integral de linha:
Segundo o Teorema de Green, temos:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, a integral dupla fica:
Precisamos calcular essa integral sobre a área do triângulo com vértices em (1,0), (1,2) e (3,0).
Passo 5
Vamos definir os limites de integração. Observando os vértices:
varia de 1 a 3.
Para cada entre 1 e 3, varia de 0 até a reta que conecta (1,2) a (3,0).
Encontrando a equação dessa reta:
A inclinação é:
Então, a equação da reta é:
Portanto, os limites de vão de 0 a .
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Vamos simplificar e integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
Para :
Para :
Vamos fazer uma substituição , então . Quando , ; quando , .