Calcule as integrais de linhas:
, onde é a fronteira do triângulo com vértices e orientado no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular uma integral de linha ao longo da fronteira de um triângulo com vértices em (1,0), (1,2) e (3,0). A integral que temos é:
Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área do triângulo. Para isso, precisamos lembrar que o Teorema de Green relaciona integrais de linha ao redor de um caminho fechado com integrais duplas sobre a região delimitada por esse caminho.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as funções e na integral de linha:
Segundo o Teorema de Green, temos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:

Passo 4

Agora, a integral dupla fica:
Precisamos calcular essa integral sobre a área do triângulo com vértices em (1,0), (1,2) e (3,0).

Passo 5

Vamos definir os limites de integração. Observando os vértices:
  • varia de 1 a 3.
  • Para cada entre 1 e 3, varia de 0 até a reta que conecta (1,2) a (3,0).
Encontrando a equação dessa reta:
A inclinação é:
Então, a equação da reta é:
Portanto, os limites de vão de 0 a .

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral externa:
Vamos simplificar e integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
  1. Para :
  1. Para :
Vamos fazer uma substituição , então . Quando , ; quando , .

Passo 8

Somando as integrais:
Multiplicando pelo 3 que estava fora da integral:

Resposta

A integral de linha é igual a 22.

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, onde é a fronteira de orientado no sentido anti-horário.
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