Calcule as integrais de linhas:
ointgamma(4 x^3-y^3) d x+(x^3+raizy^2+1) d y, onde gamma é a fronteira do triângulo K com vértices (1,0),(1,2) e (3,0) orientado no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular uma integral de linha ao longo da fronteira de um triângulo com vértices em (1,0), (1,2) e (3,0). A integral que temos é:
ointgamma (4x^3 - y^3) dx + (x^3 + raizy^2 + 1) dy
Vamos usar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área do triângulo. Para isso, precisamos lembrar que o Teorema de Green relaciona integrais de linha ao redor de um caminho fechado com integrais duplas sobre a região delimitada por esse caminho.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as funções P = 4x^3 - y^3 e Q = x^3 + raizy^2 + 1 e ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA na integral de linha:
Segundo o Teorema de Green, temos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( x^3 + raizy^2 + 1 ) = 3x^2
partial Ppartial y = partialpartial y ( 4x^3 - y^3 ) = -3y^2
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3x^2 - (-3y^2) = 3x^2 + 3y^2 = 3(x^2 + y^2)

Passo 4

Agora, a integral dupla fica:
integral duplaK 3(x^2 + y^2) , dA = 3 integral duplaK (x^2 + y^2) , dA
Precisamos calcular essa integral sobre a área do triângulo com vértices em (1,0), (1,2) e (3,0).

Passo 5

Vamos definir os limites de integração. Observando os vértices:
  • m = 0 - 23 - 1 = -1 varia de 1 a 3.
  • Para cada y - 2 = -1(x - 1) implies y = -x + 3 entre 1 e 3, varia de 0 até a reta que conecta (1,2) a (3,0).
Encontrando a equação dessa reta:
A inclinação é:
Então, a equação da reta é:
Portanto, os limites de vão de 0 a .

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla:
3 integralx=1^3 integraly=0^-x + 3 (x^2 + y^2) , dy , dx
Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^-x + 3 (x^2 + y^2) , dy = x^2y + 13y^3 |0^-x + 3 = x^2(-x + 3) + 13(-x + 3)^3
Simplificando:
= -x^3 + 3x^2 + 13(-x + 3)^3

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral externa:
3 integral1^3 ( -x^3 + 3x^2 + 13(-x + 3)^3 ) dx
Vamos simplificar e integrar termo a termo:
3 [ integral1^3 (-x^3 + 3x^2) , dx + integral1^3 13(-x + 3)^3 , dx ]
Calculando cada integral:
  1. Para -14x^4 + x^3 |1^3 = ( -814 + 27 ) - ( -14 + 1 ) = ( -814 + 1084 ) - ( -14 + 44 ) = 274 - 34 = 244 = 6 :
13 integral2^0 u^3 (-du) = 13 integral0^2 u^3 du = 13 [ u^44 ]0^2 = 13 ( 164 - 0 ) = 13 times 4 = 43
  1. Para :
Vamos fazer uma substituição , então . Quando , ; quando , .

Passo 8

Somando as integrais:
6 + 43 = 183 + 43 = 223
Multiplicando pelo 3 que estava fora da integral:
3 times 223 = 22

Resposta

A integral de linha é igual a 22.

Exercícios relacionados