Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
ointgamma y x d x+x y d y, onde gamma é a fronteira do retângulo K=(x, y) in R^2, 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1 orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green! O enunciado nos pede para calcular a integral de linha
ointgamma (y x , dx + x y , dy),
onde é a fronteira do retângulo orientado no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada por esse caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial ointgamma (P , dx + Q , dy) = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy , temos
Aqui, e . Nosso objetivo é calcular a integral de linha usando essa relação.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada de partial Qpartial x = partial (xy)partial x = y em relação a partial Ppartial y = partial (yx)partial y = x :
Em seguida, a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green, temos:
integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy = integral duplaK (y - x) , dx , dy
Então, precisamos calcular essa integral dupla sobre o retângulo .

Passo 5

Vamos dividir a integral dupla em integrais iteradas. Como integral duplaK (y - x) , dx , dy = integral0^2 integral0^1 (y - x) , dy , dx é o retângulo e , podemos escrever:
Primeiro integraremos em relação a , mantendo constante.

Passo 6

Integrando integral0^1 (y - x) , dy = [ 12y^2 - x y ]0^1 = ( 12(1)^2 - x(1) ) - ( 12(0)^2 - x(0) ) = 12 - x em relação a de 0 a 1:
Agora, substituímos esse resultado na integral em .

Passo 7

Agora, integramos integral0^2 ( 12 - x ) , dx = [ 12x - 12x^2 ]0^2 = ( 12(2) - 12(2)^2 ) - ( 12(0) - 12(0)^2 ) = (1 - 2) - 0 = -1 em relação a de 0 a 2:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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