Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde é a fronteira do retângulo orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green! O enunciado nos pede para calcular a integral de linha
onde é a fronteira do retângulo orientado no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada por esse caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial , temos
Aqui, e . Nosso objetivo é calcular a integral de linha usando essa relação.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada de em relação a :
Em seguida, a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green, temos:
Então, precisamos calcular essa integral dupla sobre o retângulo .

Passo 5

Vamos dividir a integral dupla em integrais iteradas. Como é o retângulo e , podemos escrever:
Primeiro integraremos em relação a , mantendo constante.

Passo 6

Integrando em relação a de 0 a 1:
Agora, substituímos esse resultado na integral em .

Passo 7

Agora, integramos em relação a de 0 a 2:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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(b) A base é o círculo . As seções transversais paralelas e perpendiculares à base são triângulos equiláteros.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde é a fronteira do retângulo , orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira de orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas:
, onde é a fronteira do triângulo com vértices e orientado no sentido horário.