Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde
é a fronteira do retângulo
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green! O enunciado nos pede para calcular a integral de linha
onde
é a fronteira do retângulo
orientado no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada por esse caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial
, temos
Aqui,
e
. Nosso objetivo é calcular a integral de linha usando essa relação.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Em seguida, a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema de Green, temos:
Então, precisamos calcular essa integral dupla sobre o retângulo
.
Passo 5
Vamos dividir a integral dupla em integrais iteradas. Como
é o retângulo
e
, podemos escrever:
Primeiro integraremos em relação a
, mantendo
constante.
Passo 6
Integrando
em relação a
de 0 a 1:
Agora, substituímos esse resultado na integral em
.
Passo 7
Agora, integramos
em relação a
de 0 a 2:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
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(b) A base é o círculo . As seções transversais paralelas e perpendiculares à base são triângulos equiláteros.
(b) A base é o círculo
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde
é a fronteira do retângulo
,
orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde
é a fronteira de
orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas:
, onde
é a fronteira do triângulo
com vértices
e
orientado no sentido horário.