Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira de orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado é:
onde é a fronteira de orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada que delimita uma região , temos:
Aqui, e são funções que dependem de e . No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 4

Agora, a integral de linha original se transforma em uma integral dupla sobre a região :
Observando a região , que é uma elipse centrada na origem, percebemos que ela é simétrica em relação ao eixo . Isso significa que, para cada ponto em , existe um ponto também em . Como estamos integrando sobre uma região simétrica, os termos positivos e negativos vão se cancelar, resultando em zero.

Resposta

A integral de linha vale .

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, onde é a fronteira do retângulo orientado no sentido anti-horário.
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(b) A base é o círculo . As seções transversais paralelas e perpendiculares à base são triângulos equiláteros.
Calcule as integrais de linhas:
, onde é a fronteira do triângulo com vértices e orientado no sentido horário.
Encontre a solução geral em forma implícita para a equação diferencial