Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
ointgamma(y^2+x^2) d x+e^y d y, onde gamma é a fronteira de K=(x, y) in R^2, x^2+4 y^2 <= 16 orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado é:
ointgamma(y^2+x^2) dx + e^y dy
onde é a fronteira de orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada ointgamma P dx + Q dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx dy que delimita uma região , temos:
Aqui, e são funções que dependem de e . No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (e^y) = 0
partial Ppartial y = partialpartial y (y^2 + x^2) = 2y
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - 2y = -2y

Passo 4

Agora, a integral de linha original se transforma em uma integral dupla sobre a região integral duplaK (-2y) dx dy :
Observando a região , que é uma elipse centrada na origem, percebemos que ela é simétrica em relação ao eixo . Isso significa que, para cada ponto em , existe um ponto também em . Como estamos integrando sobre uma região simétrica, os termos positivos e negativos vão se cancelar, resultando em zero.

Resposta

A integral de linha vale .

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