Encontre a solução geral em forma implícita para a equação diferencial

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede pra encontrar a solução geral da equação diferencial
Isso envolve conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e técnicas de separação de variáveis. Vamos precisar separar as variáveis e para conseguir integrar e achar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Vamos multiplicar ambos os lados por para isolar de um lado e do outro:

Passo 3

Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados. A integração de cada lado nos dará:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 4

Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:

Passo 5

Juntando as integrais, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para deixar a solução mais organizada, podemos rearranjar os termos:
Ou, de forma ainda mais simplificada:
Como é uma constante arbitrária, podemos simplesmente chamá-la de . Então, a solução geral em forma implícita fica:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule as integrais de linhas:
, onde é a fronteira do triângulo com vértices e orientado no sentido horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira de orientado no sentido anti-horário.
Resolva o problema de valor inicial abaixo, encontrando o intervalo máximo de definição da solução: