Encontre a solução geral em forma implícita para a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede pra encontrar a solução geral da equação diferencial
Isso envolve conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e técnicas de separação de variáveis. Vamos precisar separar as variáveis
e
para conseguir integrar e achar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação dada é:
Vamos multiplicar ambos os lados por
para isolar
de um lado e
do outro:
Passo 3
Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados. A integração de cada lado nos dará:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 4
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Passo 5
Juntando as integrais, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para deixar a solução mais organizada, podemos rearranjar os termos:
Ou, de forma ainda mais simplificada:
Como
é uma constante arbitrária, podemos simplesmente chamá-la de
. Então, a solução geral em forma implícita fica:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule as integrais de linhas:
, onde
é a fronteira do triângulo
com vértices
e
orientado no sentido horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde
é a fronteira de
orientado no sentido anti-horário.
Resolva o problema de valor inicial abaixo, encontrando o intervalo máximo de definição da solução: