Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(26) integral tan ^3 xcos ^2 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a integral de tan^3 xcos^2 x em relação a x. Vamos usar o método da substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas fazendo uma mudança de variável. Para isso, vamos precisar lembrar que a tangente e o cosseno estão relacionados através das identidades trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar expressando tan x em termos de sen e cos. Sabemos que tan x = sin xcos x. Assim, tan^3 x = (sin xcos x)^3 = sin^3 xcos^3 x. Substituindo na integral, temos:
integral tan^3 xcos^2 x dx = integral sin^3 xcos^3 xcos^2 x dx = integral sin^3 xcos^5 x dx

Passo 3

Agora, vamos aplicar a substituição. Observamos que no numerador temos sin^3 x, que podemos escrever como sin^2 x cdot sin x. E sabemos que sin^2 x = 1 - cos^2 x. Então, vamos reescrever a integral:
integral sin^2 x cdot sin xcos^5 x dx = integral (1 - cos^2 x) sin xcos^5 x dx

Passo 4

Vamos fazer a substituição u = cos x. Então, a derivada de u em relação a x é du = -sin x dx, ou seja, -sin x dx = du. Observamos que na integral temos sin x dx, que corresponde a -du. Substituindo na integral:
integral (1 - u^2) (-du)u^5 = -integral 1 - u^2u^5 du

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
- integral 1 - u^2u^5 du = - integral ( 1u^5 - u^2u^5 ) du = - integral ( u^-5 - u^-3 ) du

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo usando a regra integral u^n du = u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração:
- ( u^-4-4 - u^-2-2 ) + C = - ( -14u^4 + 12u^2 ) + C = 14u^4 - 12u^2 + C

Passo 7

Agora, substituímos u = cos x de volta na expressão:
14 cos^4 x - 12 cos^2 x + C
Podemos também escrever utilizando as funções trigonométricas secante, já que sec x = 1cos x:
14 sec^4 x - 12 sec^2 x + C

Resposta

A integral é igual a 14 sec^4 x - 12 sec^2 x + C, onde C é a constante de integração.

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