Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
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Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a . Vamos usar o método da substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas fazendo uma mudança de variável. Para isso, vamos precisar lembrar que a tangente e o cosseno estão relacionados através das identidades trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar expressando em termos de sen e cos. Sabemos que . Assim, . Substituindo na integral, temos:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a substituição. Observamos que no numerador temos , que podemos escrever como . E sabemos que . Então, vamos reescrever a integral:

Passo 4

Vamos fazer a substituição . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, . Observamos que na integral temos , que corresponde a . Substituindo na integral:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo usando a regra , onde é a constante de integração:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão:
Podemos também escrever utilizando as funções trigonométricas secante, já que :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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