Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a integral de
em relação a
. Vamos usar o método da substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas fazendo uma mudança de variável. Para isso, vamos precisar lembrar que a tangente e o cosseno estão relacionados através das identidades trigonométricas.
Passo 2
Vamos começar expressando
em termos de sen e cos. Sabemos que
. Assim,
. Substituindo na integral, temos:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a substituição. Observamos que no numerador temos
, que podemos escrever como
. E sabemos que
. Então, vamos reescrever a integral:
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Então, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
. Observamos que na integral temos
, que corresponde a
. Substituindo na integral:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo usando a regra
, onde
é a constante de integração:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na expressão:
Podemos também escrever utilizando as funções trigonométricas secante, já que
:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
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.
Encontre o valor médio do quadrado da distância do ponto
no disco
ao ponto de fronteira
.
Encontre o primeiro momento em relação ao eixo
de uma placa fina de densidade constante
, limitada abaixo pelo eixo
e acima pela cardióide
.
Encontre o momento polar de inércia em relação à origem de uma placa fina que cobre a região que está dentro da cardióide
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se a função densidade da placa for
.