Encontre a área da regiāo cortada do primeiro quadrante pela curva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da região que está no primeiro quadrante e que é cortada pela curva dada pela equação polar
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de cálculo de áreas em coordenadas polares. Vamos precisar saber como integrar funções em coordenadas polares para achar essa área certinha.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que em coordenadas polares, a área
de uma região definida por uma função
entre os ângulos
e
é dada pela fórmula:
Isso porque cada “fatia” de área no polar é como um setor de círculo, e a fórmula integra todas essas fatias entre os ângulos especificados.
Passo 3
No nosso caso, a curva está no primeiro quadrante, o que significa que
varia de 0 a
radianos. Então, vamos definir:
E a função
é:
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora, substituímos na fórmula da área:
Passo 5
Vamos separar a integral:
Calculando cada parte:
Passo 6
Substituindo de volta:
Vamos calcular nos limites:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Agora, subtraímos os dois resultados:
Mas olha só, houve um pequeno erro na conta anterior. Vamos corrigir:
Na verdade, a expressão correta após a substituição é:
Mas percebemos que houve um erro inicial na aplicação dos limites. A área correta é:
Resposta
A área da região é igual a
unidades de área.
Exercícios relacionados
Encontre o valor médio do quadrado da distância do ponto
no disco
ao ponto de fronteira
.
Exercício 5. (a) Suponha que um dado elemento radioativo
se decomponha em um segundo elemento radioativo
, e que
por sua vez se decomponha em um terceiro elemento
. Se a quantidade inicial de
presente é
, se as quantidades de
e
presentes em um tempo posterior t são x e
, respectivamente, e se
e
são as constantes de taxa dessas duas reações, encontre y como função do tempo
.
(b) Radônio (com uma meia-vida de 3,8 dias) é um gás intensamente radioativo produzido como o produto imediato da decomposição do rádio (com uma meia-vida de 1600 anos). A atmosfera contém traços de radônio próximo ao solo como resultado de infiltração do solo e rochas, todas contendo pequenas quantidades de rádio. Há preocupação em algumas partes do oeste dos Estados Unidos sobre possíveis acúmulos perigosos de radônio em porões de casas cujas fundações de concreto e solo circundante contenham quantidades apreciáveis de rádio, devido à mineração de urânio nas proximidades. Se as constantes de taxa (perdas fracionárias por unidade de tempo, em anos) para a decomposição de rádio e radônio são e
, use o resultado da parte (a) para determinar quanto tempo após a conclusão de um porão a quantidade de radônio estará no máximo.
Atualizado em: 4 de setembro de 2024
(b) Radônio (com uma meia-vida de 3,8 dias) é um gás intensamente radioativo produzido como o produto imediato da decomposição do rádio (com uma meia-vida de 1600 anos). A atmosfera contém traços de radônio próximo ao solo como resultado de infiltração do solo e rochas, todas contendo pequenas quantidades de rádio. Há preocupação em algumas partes do oeste dos Estados Unidos sobre possíveis acúmulos perigosos de radônio em porões de casas cujas fundações de concreto e solo circundante contenham quantidades apreciáveis de rádio, devido à mineração de urânio nas proximidades. Se as constantes de taxa (perdas fracionárias por unidade de tempo, em anos) para a decomposição de rádio e radônio são
Atualizado em: 4 de setembro de 2024
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(26)
(26)
Encontre o primeiro momento em relação ao eixo
de uma placa fina de densidade constante
, limitada abaixo pelo eixo
e acima pela cardióide
.