Encontre a área da regiāo cortada do primeiro quadrante pela curva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da região que está no primeiro quadrante e que é cortada pela curva dada pela equação polar
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de cálculo de áreas em coordenadas polares. Vamos precisar saber como integrar funções em coordenadas polares para achar essa área certinha.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que em coordenadas polares, a área
de uma região definida por uma função
entre os ângulos
e
é dada pela fórmula:
Isso porque cada “fatia” de área no polar é como um setor de círculo, e a fórmula integra todas essas fatias entre os ângulos especificados.
Passo 3
No nosso caso, a curva está no primeiro quadrante, o que significa que
varia de 0 a
radianos. Então, vamos definir:
E a função
é:
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora, substituímos na fórmula da área:
Passo 5
Vamos separar a integral:
Calculando cada parte:
Passo 6
Substituindo de volta:
Vamos calcular nos limites:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Agora, subtraímos os dois resultados:
Mas olha só, houve um pequeno erro na conta anterior. Vamos corrigir:
Na verdade, a expressão correta após a substituição é:
Mas percebemos que houve um erro inicial na aplicação dos limites. A área correta é:
Resposta
A área da região é igual a
unidades de área.