Encontre a área da regiāo cortada do primeiro quadrante pela curva r = 2(2 - sen(2θ)^(1/2)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da região que está no primeiro quadrante e que é cortada pela curva dada pela equação polar . Para resolver isso, vamos usar o conceito de cálculo de áreas em coordenadas polares. Vamos precisar saber como integrar funções em coordenadas polares para achar essa área certinha.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que em coordenadas polares, a área de uma região definida por uma função entre os ângulos e é dada pela fórmula:
Isso porque cada “fatia” de área no polar é como um setor de círculo, e a fórmula integra todas essas fatias entre os ângulos especificados.

Passo 3

No nosso caso, a curva está no primeiro quadrante, o que significa que varia de 0 a radianos. Então, vamos definir:
E a função é:

Passo 4

Vamos calcular :
Agora, substituímos na fórmula da área:

Passo 5

Vamos separar a integral:
Calculando cada parte:

Passo 6

Substituindo de volta:
Vamos calcular nos limites:
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Agora, subtraímos os dois resultados:
Mas olha só, houve um pequeno erro na conta anterior. Vamos corrigir:
Na verdade, a expressão correta após a substituição é:
Mas percebemos que houve um erro inicial na aplicação dos limites. A área correta é:

Resposta

A área da região é igual a unidades de área.

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