Encontre a área da regiāo cortada do primeiro quadrante pela curva .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da região que está no primeiro quadrante e que é cortada pela curva dada pela equação polar . Para resolver isso, vamos usar o conceito de cálculo de áreas em coordenadas polares. Vamos precisar saber como integrar funções em coordenadas polares para achar essa área certinha.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que em coordenadas polares, a área de uma região definida por uma função entre os ângulos e é dada pela fórmula:
Isso porque cada “fatia” de área no polar é como um setor de círculo, e a fórmula integra todas essas fatias entre os ângulos especificados.

Passo 3

No nosso caso, a curva está no primeiro quadrante, o que significa que varia de 0 a radianos. Então, vamos definir:
E a função é:

Passo 4

Vamos calcular :
Agora, substituímos na fórmula da área:

Passo 5

Vamos separar a integral:
Calculando cada parte:

Passo 6

Substituindo de volta:
Vamos calcular nos limites:
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Agora, subtraímos os dois resultados:
Mas olha só, houve um pequeno erro na conta anterior. Vamos corrigir:
Na verdade, a expressão correta após a substituição é:
Mas percebemos que houve um erro inicial na aplicação dos limites. A área correta é:

Resposta

A área da região é igual a unidades de área.

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Exercício 5. (a) Suponha que um dado elemento radioativo se decomponha em um segundo elemento radioativo , e que por sua vez se decomponha em um terceiro elemento . Se a quantidade inicial de presente é , se as quantidades de e presentes em um tempo posterior t são x e , respectivamente, e se e são as constantes de taxa dessas duas reações, encontre y como função do tempo .
(b) Radônio (com uma meia-vida de 3,8 dias) é um gás intensamente radioativo produzido como o produto imediato da decomposição do rádio (com uma meia-vida de 1600 anos). A atmosfera contém traços de radônio próximo ao solo como resultado de infiltração do solo e rochas, todas contendo pequenas quantidades de rádio. Há preocupação em algumas partes do oeste dos Estados Unidos sobre possíveis acúmulos perigosos de radônio em porões de casas cujas fundações de concreto e solo circundante contenham quantidades apreciáveis de rádio, devido à mineração de urânio nas proximidades. Se as constantes de taxa (perdas fracionárias por unidade de tempo, em anos) para a decomposição de rádio e radônio são e , use o resultado da parte (a) para determinar quanto tempo após a conclusão de um porão a quantidade de radônio estará no máximo.
Atualizado em: 4 de setembro de 2024
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(26)
Encontre o primeiro momento em relação ao eixo de uma placa fina de densidade constante , limitada abaixo pelo eixo e acima pela cardióide .