Encontre o valor médio do quadrado da distância do ponto P(x, y) no disco x^2 + y^2 <= 1 ao ponto de fronteira A(1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o valor médio do quadrado da distância entre um ponto P(x, y) que está dentro do disco definido por x^2 + y^2 <= 1 e o ponto de fronteira A(1,0). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente integrais duplas em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o valor médio. Basicamente, queremos somar todas as distâncias ao quadrado entre pontos P(x, y) e A(1,0) dentro do disco e depois dividir pelo número total de pontos no disco (a área do disco).
A fórmula da distância entre dois pontos P(x, y) e A(1,0) é:
Queremos o quadrado dessa distância:

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . O disco x^2 + y^2 <= 1 em coordenadas polares fica com e .
Substituindo na fórmula da distância ao quadrado:
Expandindo:
Usando a identidade trigonométrica :

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral dupla para encontrar a soma de todas essas distâncias ao quadrado:
éÁ
A área do disco é pi.

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, multiplicamos os termos:
Agora, integramos em relação a theta de 0 a :
  1. (porque a integral de de 0 a é zero)
Somando tudo:

Passo 6

Agora, integramos em relação a r de 0 a 1:
Calculando as integrais:

Passo 7

Finalmente, dividimos pelo valor da área do disco para encontrar o valor médio:
é

Resposta

O valor médio do quadrado da distância é 3/2.

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