Encontre o valor médio do quadrado da distância do ponto no disco ao ponto de fronteira .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o valor médio do quadrado da distância entre um ponto que está dentro do disco definido por e o ponto de fronteira . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente integrais duplas em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o valor médio. Basicamente, queremos somar todas as distâncias ao quadrado entre pontos e dentro do disco e depois dividir pelo número total de pontos no disco (a área do disco).
A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Queremos o quadrado dessa distância:

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . O disco em coordenadas polares fica com e .
Substituindo na fórmula da distância ao quadrado:
Expandindo:
Usando a identidade trigonométrica :

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral dupla para encontrar a soma de todas essas distâncias ao quadrado:
éÁ
A área do disco é .

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, multiplicamos os termos:
Agora, integramos em relação a de a :
  1. (porque a integral de de a é zero)
Somando tudo:

Passo 6

Agora, integramos em relação a de a :
Calculando as integrais:

Passo 7

Finalmente, dividimos pelo valor da área do disco para encontrar o valor médio:
é

Resposta

O valor médio do quadrado da distância é .

Exercícios relacionados

Exercício 5. (a) Suponha que um dado elemento radioativo se decomponha em um segundo elemento radioativo , e que por sua vez se decomponha em um terceiro elemento . Se a quantidade inicial de presente é , se as quantidades de e presentes em um tempo posterior t são x e , respectivamente, e se e são as constantes de taxa dessas duas reações, encontre y como função do tempo .
(b) Radônio (com uma meia-vida de 3,8 dias) é um gás intensamente radioativo produzido como o produto imediato da decomposição do rádio (com uma meia-vida de 1600 anos). A atmosfera contém traços de radônio próximo ao solo como resultado de infiltração do solo e rochas, todas contendo pequenas quantidades de rádio. Há preocupação em algumas partes do oeste dos Estados Unidos sobre possíveis acúmulos perigosos de radônio em porões de casas cujas fundações de concreto e solo circundante contenham quantidades apreciáveis de rádio, devido à mineração de urânio nas proximidades. Se as constantes de taxa (perdas fracionárias por unidade de tempo, em anos) para a decomposição de rádio e radônio são e , use o resultado da parte (a) para determinar quanto tempo após a conclusão de um porão a quantidade de radônio estará no máximo.
Atualizado em: 4 de setembro de 2024
Encontre a área da regiāo cortada do primeiro quadrante pela curva .
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
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