Encontre o valor médio do quadrado da distância do ponto
no disco
ao ponto de fronteira
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o valor médio do quadrado da distância entre um ponto
que está dentro do disco definido por
e o ponto de fronteira
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente integrais duplas em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular o valor médio. Basicamente, queremos somar todas as distâncias ao quadrado entre pontos
e
dentro do disco e depois dividir pelo número total de pontos no disco (a área do disco).
A fórmula da distância entre dois pontos
e
é:
Queremos o quadrado dessa distância:
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
. O disco
em coordenadas polares fica com
e
.
Substituindo na fórmula da distância ao quadrado:
Expandindo:
Usando a identidade trigonométrica
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral dupla para encontrar a soma de todas essas distâncias ao quadrado:
A área do disco é
.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, multiplicamos os termos:
Agora, integramos em relação a
de
a
:
-
-
(porque a integral de de a é zero) -
Somando tudo:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
de
a
:
Calculando as integrais:
Passo 7
Finalmente, dividimos pelo valor da área do disco para encontrar o valor médio:
Resposta
O valor médio do quadrado da distância é
.
Exercícios relacionados
Exercício 5. (a) Suponha que um dado elemento radioativo
se decomponha em um segundo elemento radioativo
, e que
por sua vez se decomponha em um terceiro elemento
. Se a quantidade inicial de
presente é
, se as quantidades de
e
presentes em um tempo posterior t são x e
, respectivamente, e se
e
são as constantes de taxa dessas duas reações, encontre y como função do tempo
.
(b) Radônio (com uma meia-vida de 3,8 dias) é um gás intensamente radioativo produzido como o produto imediato da decomposição do rádio (com uma meia-vida de 1600 anos). A atmosfera contém traços de radônio próximo ao solo como resultado de infiltração do solo e rochas, todas contendo pequenas quantidades de rádio. Há preocupação em algumas partes do oeste dos Estados Unidos sobre possíveis acúmulos perigosos de radônio em porões de casas cujas fundações de concreto e solo circundante contenham quantidades apreciáveis de rádio, devido à mineração de urânio nas proximidades. Se as constantes de taxa (perdas fracionárias por unidade de tempo, em anos) para a decomposição de rádio e radônio são e
, use o resultado da parte (a) para determinar quanto tempo após a conclusão de um porão a quantidade de radônio estará no máximo.
Atualizado em: 4 de setembro de 2024
(b) Radônio (com uma meia-vida de 3,8 dias) é um gás intensamente radioativo produzido como o produto imediato da decomposição do rádio (com uma meia-vida de 1600 anos). A atmosfera contém traços de radônio próximo ao solo como resultado de infiltração do solo e rochas, todas contendo pequenas quantidades de rádio. Há preocupação em algumas partes do oeste dos Estados Unidos sobre possíveis acúmulos perigosos de radônio em porões de casas cujas fundações de concreto e solo circundante contenham quantidades apreciáveis de rádio, devido à mineração de urânio nas proximidades. Se as constantes de taxa (perdas fracionárias por unidade de tempo, em anos) para a decomposição de rádio e radônio são
Atualizado em: 4 de setembro de 2024
Encontre a área da regiāo cortada do primeiro quadrante pela curva
.
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(26)
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