Encontre o valor médio do quadrado da distância do ponto
no disco
ao ponto de fronteira
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o valor médio do quadrado da distância entre um ponto
que está dentro do disco definido por
e o ponto de fronteira
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente integrais duplas em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular o valor médio. Basicamente, queremos somar todas as distâncias ao quadrado entre pontos
e
dentro do disco e depois dividir pelo número total de pontos no disco (a área do disco).
A fórmula da distância entre dois pontos
e
é:
Queremos o quadrado dessa distância:
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
. O disco
em coordenadas polares fica com
e
.
Substituindo na fórmula da distância ao quadrado:
Expandindo:
Usando a identidade trigonométrica
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral dupla para encontrar a soma de todas essas distâncias ao quadrado:
A área do disco é
.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, multiplicamos os termos:
Agora, integramos em relação a
de
a
:
-
-
(porque a integral de de a é zero) -
Somando tudo:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
de
a
:
Calculando as integrais:
Passo 7
Finalmente, dividimos pelo valor da área do disco para encontrar o valor médio:
Resposta
O valor médio do quadrado da distância é
.