Encontre o momento polar de inércia em relação à origem de uma placa fina que cobre a região que está dentro da cardióide e fora da circunferência se a função densidade da placa for .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o momento polar de inércia de uma placa fina que está dentro da cardióide e fora da circunferência . A densidade da placa é dada por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento polar de inércia. Ele mede a distribuição da massa em relação a um ponto (no caso, a origem) e é calculado usando a fórmula:
Aqui, é o elemento de área na coordenada polar, que vale .

Passo 3

Vamos substituir a densidade na fórmula:
Então, nosso próximo passo é definir os limites de integração.

Passo 4

Precisamos determinar os limites para e . A região está dentro da cardióide e fora da circunferência . As duas curvas se intersectam quando:
Portanto, varia de a , e para cada nesse intervalo, vai de 1 até .

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla com os limites definidos:
Vamos integrar primeiro em relação a :

Passo 6

Simplificando a expressão:
Agora, integramos isso em relação a :
Resolvendo as integrais:
Calculando nos limites:

Resposta

O momento polar de inércia em relação à origem é .

Exercícios relacionados

Encontre o primeiro momento em relação ao eixo de uma placa fina de densidade constante , limitada abaixo pelo eixo e acima pela cardióide .
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
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