Encontre o momento polar de inércia em relação à origem de uma placa fina que cobre a região que está dentro da cardióide
e fora da circunferência
se a função densidade da placa for
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o momento polar de inércia de uma placa fina que está dentro da cardióide
e fora da circunferência
. A densidade da placa é dada por
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o momento polar de inércia. Ele mede a distribuição da massa em relação a um ponto (no caso, a origem) e é calculado usando a fórmula:
Aqui,
é o elemento de área na coordenada polar, que vale
.
Passo 3
Vamos substituir a densidade na fórmula:
Então, nosso próximo passo é definir os limites de integração.
Passo 4
Precisamos determinar os limites para
e
. A região está dentro da cardióide
e fora da circunferência
. As duas curvas se intersectam quando:
Portanto,
varia de
a
, e para cada
nesse intervalo,
vai de 1 até
.
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla com os limites definidos:
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Agora, integramos isso em relação a
:
Resolvendo as integrais:
Calculando nos limites:
Resposta
O momento polar de inércia em relação à origem é
.
Exercícios relacionados
Encontre o primeiro momento em relação ao eixo
de uma placa fina de densidade constante
, limitada abaixo pelo eixo
e acima pela cardióide
.
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(26)
(26)
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(32)
(32)
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(38)
(38)