Calcule as integrais pelo método da substituição integral x cdot(x+1)^13 d x

Passo 1

Ok, vamos resolver essa integral: .
Matéria envolvida: Integração por substituição.
O que vamos precisar: Saber escolher uma parte da expressão para substituir por e calcular .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se substituirmos por u = x + 1 , simplificará a integral. Observamos que temos , então vamos escolher:

Passo 3

Agora, precisamos calcular du = ddx(x + 1) , dx = 1 cdot dx , que é a derivada de du = dx em relação a :

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de integral x cdot (x + 1)^13 , dx = integral (u - 1) cdot u^13 , du . Sabemos que , então . Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, distribuímos integral (u cdot u^13 - 1 cdot u^13) , du dentro do parêntese:
integral ( u^1 + 13 - u^13 ) , du
integral ( u^43 - u^13 ) , du

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
integral u^43 , du - integral u^13 , du
Para integrar integral u^n , du = u^n + 1n + 1 + C , usamos a fórmula:
u^43 + 143 + 1 - u^13 + 113 + 1 + C
Aplicando isso:
u^7373 - u^4343 + C
37 u^73 - 34 u^43 + C

Passo 7

Por fim, substituímos 37 (x + 1)^73 - 34 (x + 1)^43 + C de volta por :

Resposta

A integral é igual a:
37 (x + 1)^73 - 34 (x + 1)^43 + C

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