Suponha que a velocidade de um carro é v(t), para t > 0. Usando a ideia do exercício acima, escreva a expressão da aceleração a(t) em termos de um limite envolvendo a aceleração média. Em seguida, determine a aceleração no caso em que v(t) = cos(t).

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede para a gente encontrar a expressão da aceleração em termos de um limite relacionado à aceleração média. Depois, vamos calcular essa aceleração no caso em que a velocidade do carro é . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Para encontrar isso, usamos a derivada da função velocidade . A derivada basicamente nos dá essa taxa de variação instantânea.

Passo 3

A aceleração média em um intervalo de tempo é dada por:
çãé
Para encontrar a aceleração instantânea , a gente faz o limite dessa expressão quando tende a zero. Ou seja:
Essa expressão é exatamente a definição da derivada de em relação a .

Passo 4

Agora, vamos aplicar isso ao caso específico onde . Queremos encontrar :

Passo 5

Para resolver esse limite, vamos lembrar que a derivada de é . Portanto, calculando a derivada diretamente:

Resposta

A aceleração do carro é dada por .

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