Calcule as integrais onde f(x)=l5 x+1, x <= 1 6 x, x>1
b) integral-1^1 f(x) d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = 5x + 1, & se x <= 1 6x, & se x > 1
Precisamos calcular a integral definida dessa função no intervalo de integral-1^1 f(x) , dx até , ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções definidas por partes e entender como aplicar as regras de integração em diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função muda de definição no ponto . No entanto, como o intervalo da nossa integral vai de até , todo o intervalo está na parte onde . Portanto, podemos usar a primeira definição da função para todo o cálculo.

Passo 3

Substituímos integral-1^1 f(x) , dx = integral-1^1 (5x + 1) , dx pela expressão correspondente no intervalo de integração:

Passo 4

Agora, vamos integrar a expressão integral (5x + 1) , dx = integral 5x , dx + integral 1 , dx . A integral de uma soma é a soma das integrais, então:
integral 5x , dx = 52x^2
Calculamos cada parte separadamente:
  1. Para integral 1 , dx = x :
    52x^2 + x
  2. Para :
Então, a integral completa é:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de [ 52x^2 + x ]-1^1 = ( 52(1)^2 + 1 ) - ( 52(-1)^2 + (-1) ) a 52(1)^2 + 1 = 52 + 1 = 72 :
52(-1)^2 + (-1) = 52 - 1 = 32
Simplificando cada parte:
  1. Para 72 - 32 = 42 = 2 :
  2. Para :
Subtraindo os resultados:

Resposta

O valor da integral é 2.

Exercícios relacionados

Para um campo vetorial diferenciável
F: U subset R^3 longrightarrow R^3, F(x, y, z)=F1(x, y, z) i+F2(x, y, z) j+F3(x, y, z) k,
define-se o rotacional de F e denota-se por
rotF, curlF ou nabla times F ,
ao campo vetorial associado dado por
(nabla times F)(x, y, z)=|ccc i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial y F1 & F2 & F3 |
(a) Calcular nabla times overrightarrownabla f)(x, y, z),
onde nabla f é o campo gradiente de uma função escalar f(x, y, z) de classe C^2.
Calcule as integrais ou diga quando são divergentes.
b) integral0^2 s+1raiz4-s^2 d s
Encontre o comprimento de arco das curvas paramétricas
a) x = cos(t) + t sen(t), y = sen(t) - t cos(t) como 0 <= t <= pi
Determine o comprimento das curvas
d) x = e^t cos(t), y = e^t sen(t), 0 <= t <= pi