Para um campo vetorial diferenciável
F: U subset R^3 longrightarrow R^3, F(x, y, z)=F1(x, y, z) i+F2(x, y, z) j+F3(x, y, z) k,
define-se o rotacional de F e denota-se por
rotF, curlF ou nabla times F ,
ao campo vetorial associado dado por
(nabla times F)(x, y, z)=|ccc i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial y F1 & F2 & F3 |
(a) Calcular nabla times overrightarrownabla f)(x, y, z),
onde nabla f é o campo gradiente de uma função escalar f(x, y, z) de classe C^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular o rotacional do campo gradiente de uma função escalar . Aqui, usamos conceitos de cálculo vetorial, especificamente gradiente e rotacional (ou curl). Vamos precisar das definições de gradiente e rotacional para resolver essa parte.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o campo gradiente. O gradiente de uma função escalar nabla f = partial fpartial x , i + partial fpartial y , j + partial fpartial z , k é um campo vetorial dado por:
Isso basicamente aponta na direção de maior crescimento da função .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o rotacional desse campo gradiente. O rotacional de um campo vetorial nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z ) i + ( partial F1partial z - partial F3partial x ) j + ( partial F2partial x - partial F1partial y ) k é dado por:
nabla times nabla f = nabla times ( partial fpartial x , i + partial fpartial y , j + partial fpartial z , k )
Substituindo i-componente &= partialpartial y ( partial fpartial z ) - partialpartial z ( partial fpartial y ) = partial^2 fpartial y partial z - partial^2 fpartial z partial y = 0 j-componente &= partialpartial z ( partial fpartial x ) - partialpartial x ( partial fpartial z ) = partial^2 fpartial z partial x - partial^2 fpartial x partial z = 0 k-componente &= partialpartial x ( partial fpartial y ) - partialpartial y ( partial fpartial x ) = partial^2 fpartial x partial y - partial^2 fpartial y partial x = 0 por , temos:
Vamos calcular cada componente:
Todas as componentes são iguais a zero porque as derivadas parciais mistas são iguais (desde que seja suficientemente suave, o que está garantido aqui).

Resposta

nabla times nabla f = 0

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