Determine o comprimento das curvas
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o comprimento de uma curva definida pelas equações paramétricas
e
, onde
varia de
até
. Isso faz parte de geometria analítica e cálculo, especialmente o que estuda como encontrar o comprimento de curvas usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de
e
em relação a
e depois usar essas derivadas na fórmula do comprimento da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas das funções
e
em relação a
. Isso significa calcular
e
.
Para
:
Isso usou a regra do produto para derivadas.
Para
:
Também aplicamos a regra do produto aqui.
Passo 3
Agora, vamos calcular o quadrado das derivadas e somar elas. Ou seja, vamos encontrar
.
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, fatoramos
de cada termo:
Expandindo os quadrados:
Somando as duas expressões:
Como
, temos:
Passo 5
Agora, pegamos a raiz quadrada dessa soma para usar na fórmula do comprimento da curva:
Passo 6
Finalmente, vamos integrar essa expressão de
até
para encontrar o comprimento da curva:
A integral de
é
, então:
Resposta
O comprimento da curva é
.
Exercícios relacionados
Encontre o comprimento de arco das curvas paramétricas
a)
a)
Calcule as integrais onde
b)
b)
Em um sistema de coordenadas retangulares convencional, construir o seguinte:
(a) Um produto interno que não seja positivo definido.
(a) Um produto interno que não seja positivo definido.
Calcule as integrais que seguem (escolha apenas 6)
a)
a)