Encontre o comprimento de arco das curvas paramétricas
a) x = cos(t) + t sen(t), y = sen(t) - t cos(t) como 0 <= t <= pi

Passo 1

E aí! O exercício pede para a gente encontrar o comprimento de arco de uma curva definida por e , no intervalo de de 0 a . Vamos usar cálculo diferencial, especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas. Para isso, precisamos calcular as derivadas de e em relação a e aplicar a fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de e em relação a .
Para :
Para :

Passo 3

Agora que temos e , vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Agora, basta calcular a integral:

Resposta

O comprimento de arco da curva é unidades.

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Calcule as integrais onde f(x)=l5 x+1, x <= 1 6 x, x>1
b) integral-1^1 f(x) d x
Para um campo vetorial diferenciável
F: U subset R^3 longrightarrow R^3, F(x, y, z)=F1(x, y, z) i+F2(x, y, z) j+F3(x, y, z) k,
define-se o rotacional de F e denota-se por
rotF, curlF ou nabla times F ,
ao campo vetorial associado dado por
(nabla times F)(x, y, z)=|ccc i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial y F1 & F2 & F3 |
(a) Calcular nabla times overrightarrownabla f)(x, y, z),
onde nabla f é o campo gradiente de uma função escalar f(x, y, z) de classe C^2.
Determine o comprimento das curvas
d) x = e^t cos(t), y = e^t sen(t), 0 <= t <= pi
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(a) Um produto interno que não seja positivo definido.