Calcule as integrais onde f(x)=l5 x+1, x <= 1 6 x, x>1
a) integral0^1 f(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular , onde a função é definida por partes. A gente vai usar o conceito de integração de funções definidas por partes. Para isso, precisamos entender como a função se comporta no intervalo de 0 a 1 e aplicar as regras de integração correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a expressão da função f(x) = 5x + 1, & se x <= 1 6x, & se x > 1 no intervalo de integração, que é de a . De acordo com a definição dada:
Como nosso intervalo vai de a , e nessa faixa, usamos a primeira parte da função: .

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral com essa expressão:
integral0^1 f(x) dx = integral0^1 (5x + 1) dx

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos integrar termo a termo. A integral de uma soma é a soma das integrais. Então, temos:
integral (5x + 1) dx = integral 5x dx + integral 1 dx

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. integral 5x dx = 5 cdot x^22 = 52x^2 :
    Para integrar integral 1 dx = x , usamos a regra de potência. Sabemos que , onde é a constante de integração.
    Aqui, , então:
  2. :
    A integral de uma constante em relação a é simplesmente :

Passo 6

Agora, somamos as duas integrais:
integral (5x + 1) dx = 52x^2 + x + C
Como estamos calculando uma integral definida de integral0^1 (5x + 1) dx = [ 52x^2 + x ]0^1 a , a constante é cancelada na avaliação dos limites. Então, temos:

Passo 7

Vamos avaliar a expressão nos limites de integração:
  1. Para 52(1)^2 + 1 = 52 + 1 = 72 :
    52(0)^2 + 0 = 0 + 0 = 0
  2. Para :

Passo 8

Subtraímos o valor no limite inferior do valor no limite superior:
[ 52x^2 + x ]0^1 = 72 - 0 = 72

Resposta

O valor da integral é .

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