Calcule as integrais onde
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular
, onde a função
é definida por partes. A gente vai usar o conceito de integração de funções definidas por partes. Para isso, precisamos entender como a função se comporta no intervalo de 0 a 1 e aplicar as regras de integração correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a expressão da função
no intervalo de integração, que é de
a
. De acordo com a definição dada:
Como nosso intervalo vai de
a
, e
nessa faixa, usamos a primeira parte da função:
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral com essa expressão:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos integrar termo a termo. A integral de uma soma é a soma das integrais. Então, temos:
Passo 5
Vamos calcular cada integral separadamente:
-
: Para integrar, usamos a regra de potência. Sabemos que , onde é a constante de integração. Aqui,, então: -
: A integral de uma constanteem relação a é simplesmente :
Passo 6
Agora, somamos as duas integrais:
Como estamos calculando uma integral definida de
a
, a constante
é cancelada na avaliação dos limites. Então, temos:
Passo 7
Vamos avaliar a expressão nos limites de integração:
-
Para
: -
Para
:
Passo 8
Subtraímos o valor no limite inferior do valor no limite superior:
Resposta
O valor da integral
é
.
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c)
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