Determine o comprimento das curvas
c) x = acos(t), y = sen(t), 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos determinar o comprimento da curva definida pelas funções paramétricas e , onde varia de a . Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de comprimentos de curvas paramétricas, especificamente a fórmula que envolve derivadas das funções.
Observação Importante: As funções e só estão definidas para valores de no intervalo . Portanto, o intervalo está parcialmente fora do domínio dessas funções. Para que e sejam valores reais, precisamos considerar apenas no intervalo .

Passo 2

Sabemos que a fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica no intervalo é dada por:
Então, nosso primeiro passo é encontrar as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular . Como , a derivada de em relação a é:
Essa derivada resulta da regra básica de derivação das funções trigonométricas inversas.

Passo 4

Agora, vamos calcular . Como , a derivada de em relação a é:
Novamente, utilizamos a regra de derivação das funções trigonométricas inversas.

Passo 5

Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento, temos:
Simplificando dentro da raiz:
Então:

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto, o comprimento da curva fica:

Passo 7

A integral é uma integral conhecida cuja antiderivada é . Assim:
Sabemos que e .

Resposta

O comprimento da curva é:

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