Determine o comprimento das curvas
c)
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos determinar o comprimento da curva definida pelas funções paramétricas
e
, onde
varia de
a
. Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo de comprimentos de curvas paramétricas, especificamente a fórmula que envolve derivadas das funções.
Observação Importante: As funções
e
só estão definidas para valores de
no intervalo
. Portanto, o intervalo
está parcialmente fora do domínio dessas funções. Para que
e
sejam valores reais, precisamos considerar apenas
no intervalo
.
Passo 2
Sabemos que a fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica
no intervalo
é dada por:
Então, nosso primeiro passo é encontrar as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
. Como
, a derivada de
em relação a
é:
Essa derivada resulta da regra básica de derivação das funções trigonométricas inversas.
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Como
, a derivada de
em relação a
é:
Novamente, utilizamos a regra de derivação das funções trigonométricas inversas.
Passo 5
Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento, temos:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Portanto, o comprimento da curva fica:
Passo 7
A integral
é uma integral conhecida cuja antiderivada é
. Assim:
Sabemos que
e
.
Resposta
O comprimento da curva é:
Exercícios relacionados
(2,0 pontos) Calcular as seguintes integrais indefinidas.
a)
a)
Calcule as integrais onde
a)
a)
Construir uma hélice cônica circular
tal que
.
Calcule
e)
e)