( 6,0 pontos) Calcular as seguintes integrais indefinidas:
a) integral 15 sin ^2 x cos ^3 x d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral indefinida de . Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão 15 integral sin^2 x cos^2 x cos x , dx . A ideia aqui é separar uma potência de seno ou cosseno para fazer a substituição. Vamos reescrever como . Assim, temos:

Passo 3

Agora, usamos a identidade trigonométrica 15 integral sin^2 x (1 - sin^2 x) cos x , dx para substituir :

Passo 4

Vamos fazer a substituição agora. Seja 15 integral u^2 (1 - u^2) , du , então . Isso simplifica a integral para:

Passo 5

Agora, distribua 15 integral (u^2 - u^4) , du dentro dos parênteses:

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
15 ( u^33 - u^55 ) + C
Simplificando os coeficientes:
5 u^3 - 3 u^5 + C

Passo 7

Finalmente, voltamos à variável original substituindo 5 sin^3 x - 3 sin^5 x + C :

Resposta

A integral indefinida é .

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