Calcule as integrais a seguir, fazendo as manipulações algébricas convenientes e utilizando as propriedades das funções envolvidas:
integral1^6 x^2(x-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida . Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, onde a gente aprende a encontrar áreas sob curvas usando integrais. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão algébrica e aplicar as regras de integração para funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão dentro da integral para facilitar a integração. Multiplicando x^2(x - 1) = x^3 - x^2 por integral1^6 (x^3 - x^2) , dx , temos:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
integral1^6 x^3 , dx - integral1^6 x^2 , dx

Passo 4

Vamos lembrar da regra básica de integração para potências de integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C :
integral x^3 , dx = x^44
Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos nos preocupar com a constante integral x^2 , dx = x^33 . Aplicando essa regra a cada termo:
x^44 - x^33
Então, a expressão integrada fica:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 1 a 6. Primeiro, calculamos para 6^44 - 6^33 = 12964 - 2163 = 324 - 72 = 252 :
1^44 - 1^33 = 14 - 13 = 312 - 412 = -112
Em seguida, calculamos para :

Resposta

Subtraindo os valores obtidos nos limites:
252 - (-112) = 252 + 112 = 252112
Portanto, o valor da integral é .

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