Calcule as integrais a seguir, fazendo as manipulações algébricas convenientes e utilizando as propriedades das funções envolvidas:
integral(x^3+2 x^2-7x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de em relação a . Esse exercício envolve integração, que é uma parte da cálculo integral. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração x^3x^2 + 2x^2x^2 - 7x^2 = x + 2 - 7x^-2 . Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador separadamente:
Aqui, usamos a regra dos expoentes: .

Passo 3

Agora que simplificamos, a integral fica:
integral ( x + 2 - 7x^-2 ) dx
Vamos integrar cada termo separadamente. A integração é basicamente o processo inverso da derivada.

Passo 4

Integrando o primeiro termo integral x , dx = 12x^2 :
Isso porque a integral de é , onde .

Passo 5

Integrando o segundo termo integral 2 , dx = 2x :
Integrar uma constante em relação a .

Passo 6

Integrando o terceiro termo integral -7x^-2 , dx = -7 integral x^-2 , dx = -7 ( x^-1-1 ) = 7x :
Aqui, aplicamos a mesma regra dos expoentes e lembramos que .

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
12x^2 + 2x + 7x + C
Onde é a constante de integração.

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