Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo: precisamos descobrir se a função dada, que é
, é periódica. Se for, também precisamos encontrar qual é o menor intervalo após o qual a função se repete, chamado de período fundamental. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e propriedades de periodicidade.
Passo 2
Primeiro, o que significa uma função ser periódica? Uma função
é periódica se existe um número positivo
tal que
para todo
em seu domínio. Esse número
é chamado de período da função. O menor valor positivo de
que satisfaz essa condição é o período fundamental.
Passo 3
Agora, vamos lembrar das propriedades da função tangente básica,
. Sabemos que a tangente tem um período de
, ou seja,
para todo
. Isso significa que a função se repete a cada intervalo de
unidades.
Passo 4
Na função dada, temos
. Aqui, a entrada da função tangente é multiplicada por
. Isso afeta o período da função. Em geral, se temos
, o período será
. No nosso caso,
, então o período será
.
Passo 5
Vamos confirmar isso substituindo
por
na função
:
Para que a função se repita, precisamos que
seja igual ao período da tangente básica, que é
. Então:
Resolvendo para
, temos:
Resposta
A função
é periódica, e seu período fundamental é
.