determine se a função dada é periódica. Se for, encontre seu período fundamental: tan(pi x)çãéóí

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo: precisamos descobrir se a função dada, que é , é periódica. Se for, também precisamos encontrar qual é o menor intervalo após o qual a função se repete, chamado de período fundamental. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e propriedades de periodicidade.

Passo 2

Primeiro, o que significa uma função ser periódica? Uma função f(x) é periódica se existe um número positivo T tal que para todo x em seu domínio. Esse número T é chamado de período da função. O menor valor positivo de T que satisfaz essa condição é o período fundamental.

Passo 3

Agora, vamos lembrar das propriedades da função tangente básica, . Sabemos que a tangente tem um período de pi, ou seja, para todo theta. Isso significa que a função se repete a cada intervalo de pi unidades.

Passo 4

Na função dada, temos . Aqui, a entrada da função tangente é multiplicada por pi. Isso afeta o período da função. Em geral, se temos , o período será . No nosso caso, , então o período será .

Passo 5

Vamos confirmar isso substituindo x por na função :
Para que a função se repita, precisamos que seja igual ao período da tangente básica, que é pi. Então:
Resolvendo para T, temos:

Resposta

A função é periódica, e seu período fundamental é .

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