Calcule as integrais a seguir.

Passo 1

Vamos resumir o problema: Precisamos calcular a integral . Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de integração envolvendo substituição trigonométrica, que fazem parte do conteúdo de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz quadrada, , sugere o uso de uma substituição trigonométrica. Vamos definir . Essa substituição simplifica a expressão sob a raiz e facilita a integração.

Passo 3

Com a substituição , calculamos a derivada de em relação a :
Agora, substituímos e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
Simplificando a expressão dentro da raiz:

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
Simplificando:

Passo 6

Sabemos que e . Então:
Portanto, a integral fica:
Essa integral é mais complicada, então vamos reconsiderar nossa abordagem.

Passo 7

Vamos tentar uma substituição diferente. Definimos . Diferenciando ambos os lados:
Substituindo na integral original:
Sabemos que . Então:

Passo 8

Calculamos as integrais separadamente:
E:
Portanto, a integral completa é:

Passo 9

Retornamos à variável original substituindo :

Resposta

A integral é igual a:

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