Calcule as integrais a seguir. integral raizx^2+16x d x

Passo 1

Vamos resumir o problema: Precisamos calcular a integral . Para resolver isso, vamos utilizar técnicas de integração envolvendo substituição trigonométrica, que fazem parte do conteúdo de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz quadrada, , sugere o uso de uma substituição trigonométrica. Vamos definir . Essa substituição simplifica a expressão sob a raiz e facilita a integração.

Passo 3

Com a substituição dx = 4sec^2theta , dtheta , calculamos a derivada de em relação a :
Agora, substituímos e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral raiz(4tantheta)^2 + 164tantheta cdot 4sec^2theta , dtheta = integral raiz16tan^2theta + 164tantheta cdot 4sec^2theta , dtheta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz16tan^2theta + 16 = raiz16(tan^2theta + 1) = raiz16sec^2theta = 4sectheta

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral 4sectheta4tantheta cdot 4sec^2theta , dtheta = integral secthetatantheta cdot 4sec^2theta , dtheta
Simplificando:
integral secthetatantheta cdot 4sec^2theta , dtheta = 4integral sec^3thetatantheta , dtheta

Passo 6

Sabemos que secthetatantheta = 1costhetasinthetacostheta = 1sintheta = csctheta e 4integral sec^2theta cdot csctheta , dtheta . Então:
Portanto, a integral fica:
Essa integral é mais complicada, então vamos reconsiderar nossa abordagem.

Passo 7

Vamos tentar uma substituição diferente. Definimos du = xraizx^2+16 , dx Rightarrow du = xu , dx Rightarrow dx = u , dux . Diferenciando ambos os lados:
integral ux cdot u , dux = integral u^2x^2 , du
Substituindo na integral original:
integral u^2u^2 - 16 , du = integral (1 + 16u^2 - 16) , du = integral 1 , du + 16 integral 1u^2 - 16 , du
Sabemos que . Então:

Passo 8

Calculamos as integrais separadamente:
integral 1 , du = u + C
E:
16 integral 1u^2 - 16 , du = 16 cdot 14 ln|u - 4u + 4| + C = 4 ln|u - 4u + 4| + C
Portanto, a integral completa é:
u + 4 ln|u - 4u + 4| + C

Passo 9

Retornamos à variável original raizx^2 + 16 + 4 ln|raizx^2 + 16 - 4raizx^2 + 16 + 4| + C substituindo :

Resposta

A integral raizx^2 + 16 + 4 ln|raizx^2 + 16 - 4raizx^2 + 16 + 4| + C é igual a:

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