Calcule as integrais a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz quadrada no denominador. Vamos definir . Assim, .

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
Simplificando os termos dentro da integral:

Passo 4

Simplificando mais a expressão dentro da raiz:
Agora, substituindo de volta na integral:

Passo 5

Observamos que no denominador e no numerador se cancelam:

Passo 6

Agora, precisamos integrar . Sabemos que , então:
Portanto, a integral fica:

Passo 7

Integrando termo a termo:

Passo 8

Agora, substituímos de volta em termos de . Lembramos que , então .
Além disso, usamos a identidade . Sabendo que , temos:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão integrada:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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