Calcule as integrais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz quadrada no denominador. Vamos definir
. Assim,
.
Passo 3
Substituindo
na integral, temos:
Simplificando os termos dentro da integral:
Passo 4
Simplificando mais a expressão dentro da raiz:
Agora, substituindo de volta na integral:
Passo 5
Observamos que
no denominador e
no numerador se cancelam:
Passo 6
Agora, precisamos integrar
. Sabemos que
, então:
Portanto, a integral fica:
Passo 7
Integrando termo a termo:
Passo 8
Agora, substituímos
de volta em termos de
. Lembramos que
, então
.
Além disso, usamos a identidade
. Sabendo que
, temos:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão integrada:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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