Calcule as integrais a seguir. integral t^2raiz4-t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz quadrada no denominador. Vamos definir . Assim, .

Passo 3

Substituindo integral (2sintheta)^2raiz4 - (2sintheta)^2 cdot 2costheta , dtheta na integral, temos:
integral 4sin^2thetaraiz4 - 4sin^2theta cdot 2costheta , dtheta
Simplificando os termos dentro da integral:

Passo 4

Simplificando mais a expressão dentro da raiz:
raiz4 - 4sin^2theta = raiz4(1 - sin^2theta) = raiz4cos^2theta = 2costheta
Agora, substituindo de volta na integral:
integral 4sin^2theta2costheta cdot 2costheta , dtheta

Passo 5

Observamos que integral 4sin^2theta , dtheta no denominador e no numerador se cancelam:

Passo 6

Agora, precisamos integrar 4sin^2theta = 4 cdot 1 - cos(2theta)2 = 2(1 - cos(2theta)) . Sabemos que integral 2(1 - cos(2theta)) , dtheta = 2integral (1 - cos(2theta)) , dtheta , então:
Portanto, a integral fica:

Passo 7

Integrando termo a termo:
2( integral 1 , dtheta - integral cos(2theta) , dtheta ) = 2( theta - sin(2theta)2 ) + C = 2theta - sin(2theta) + C

Passo 8

Agora, substituímos sin(2theta) = 2 cdot t2 cdot raiz4 - t^22 = traiz4 - t^22 de volta em termos de . Lembramos que , então .
Além disso, usamos a identidade . Sabendo que , temos:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão integrada:
2theta - sin(2theta) + C = 2arcsin(t2) - traiz4 - t^22 + C

Resposta

A integral 2arcsin(t2) - traiz4 - t^22 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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