Calcule as integrais a seguir. integral raizx^2-25 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular . Isso envolve calcular uma integral que tem uma raiz quadrada com uma expressão quadrática dentro. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição trigonométrica, que é ótima para integrais com expressões como .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Sabemos que para x = a sec(theta) , uma boa substituição é:
x = 5 sec(theta)
No nosso caso, , então:
Isso vai ajudar a transformar a raiz em uma expressão que usamos trigonometria para simplificar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar dx = 5 sec(theta) tan(theta) , dtheta em termos de . Derivando em relação a :

Passo 4

Substituindo raizx^2-25 = raiz(5 sec(theta))^2 - 25 = raiz25 sec^2(theta) - 25 = raiz25(sec^2(theta) - 1) na expressão raiz25 tan^2(theta) = 5 tan(theta) :
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, substituímos tudo de volta na integral original:
integral raizx^2-25 , dx = integral 5 tan(theta) cdot 5 sec(theta) tan(theta) , dtheta = 25 integral tan^2(theta) sec(theta) , dtheta
Para integrar 25 integral (sec^2(theta) - 1) sec(theta) , dtheta = 25 integral (sec^3(theta) - sec(theta)) , dtheta , lembramos que , então:

Passo 6

Vamos integrar separadamente:
  1. 12 sec(theta) tan(theta) + 12 ln |sec(theta) + tan(theta)| | + C é uma integral padrão que resulta em:
25 ( 12 sec(theta) tan(theta) + 12 ln |sec(theta) + tan(theta)| - ln |sec(theta) + tan(theta)| ) + C
  1. 252 sec(theta) tan(theta) - 252 ln |sec(theta) + tan(theta)| + C
Portanto:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos voltar para a variável original x = 5 sec(theta) . Sabemos que:
sec(theta) = x5
Então:
252 cdot x5 cdot raizx^2-255 - 252 ln | x5 + raizx^2-255 | + C
E, como (\tan(\theta) = \sqrt{\sec^{2}(\theta) -1} = \sqrt{\left(\frac{x}{5}\right)^{2} -1} = \frac{\sqrt{x^{2}-25}}{5} ]
Substituindo de volta:
x raizx^2-252 - 252 ln | x + raizx^2-25 | + C
Simplificando:

Resposta

A integral de x raizx^2-252 - 252 ln | x + raizx^2-25 | + C é:

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