Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular . Isso envolve calcular uma integral que tem uma raiz quadrada com uma expressão quadrática dentro. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição trigonométrica, que é ótima para integrais com expressões como .
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Sabemos que para , uma boa substituição é:
No nosso caso, , então:
Isso vai ajudar a transformar a raiz em uma expressão que usamos trigonometria para simplificar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar em termos de . Derivando em relação a :
Passo 4
Substituindo na expressão :
Sabemos que , então:
Passo 5
Agora, substituímos tudo de volta na integral original:
Para integrar , lembramos que , então:
Passo 6
Vamos integrar separadamente:
é uma integral padrão que resulta em:
Portanto:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos voltar para a variável original . Sabemos que:
Então:
E, como (\tan(\theta) = \sqrt{\sec^{2}(\theta) -1} = \sqrt{\left(\frac{x}{5}\right)^{2} -1} = \frac{\sqrt{x^{2}-25}}{5} ]
Substituindo de volta:
Simplificando:
Resposta
A integral de x raizx^2-252 - 252 ln | x + raizx^2-25 | + C é: