Calcule as integrais a seguir:
(a) integral1^5(2+3 x-x^2) d x (Resposta: 83 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de entre 1 e 5. Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de integração de funções polinomiais. Para resolver isso, vamos encontrar a antiderivada da função e depois aplicar o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar cada termo da função separadamente. A função que temos é F(x) = 2x + 32x^2 - 13x^3 . Vamos integrar termo por termo:
  1. A integral de 2 em relação a é .
  2. A integral de em relação a é (porque a integral de é ).
  3. A integral de em relação a é .
Então, a antiderivada da função é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 1 a 5 usando o teorema fundamental do cálculo. Isso significa que vamos calcular F(5) = 2(5) + 32(5)^2 - 13(5)^3 = 10 + 32(25) - 13(125) .
Primeiro, calculamos F(5) = 10 + 37,5 - 41,6 = 10 + 37,5 = 47,5 - 41,6 = 5,8 :
F(1) = 2(1) + 32(1)^2 - 13(1)^3 = 2 + 32 - 13
F(1) = 2 + 1,5 - 0,3 = 3,5 - 0,3 = 3,1
Convertendo para fração:
Depois, calculamos :
Convertendo para fração:

Passo 4

Agora, subtraímos F(5) - F(1) = 356 - 196 = 166 = 83 de :

Resposta

A integral é igual a .

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