Nos exercícios 6 a 10, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos , da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
10. e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o volume de um sólido formado ao girar a região em torno do eixo dos . A região é delimitada pelas curvas , , e . Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que envolve integrar usando a fórmula do volume de revolução em torno do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que delimitam a região. A função é uma curva que varia com , e é o eixo . Os limites de são de a . Nosso objetivo é encontrar o volume gerado quando essa região gira ao redor do eixo .

Passo 3

Vamos usar a fórmula do volume de revolução em torno do eixo :
Aqui, é a função que descreve a fronteira da região a ser girada, que no caso é , e e são os limites de integração, que são e , respectivamente.

Passo 4

Substituindo na fórmula, temos:
Agora, precisamos expandir o quadrado para facilitar a integração:

Passo 5

Vamos reescrever a integral com os termos expandidos:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 6

Integrando cada termo:
  1. Para , usamos a identidade trigonométrica:
Então,

Passo 7

Substituindo tudo de volta na expressão do volume:
Vamos combinar os termos semelhantes:

Passo 8

Agora, avaliamos essa expressão nos limites:
Para :
Para :

Passo 9

Calculando a diferença:
Multiplicando pelo da frente:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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23. e
Calcule as integrais a seguir interpretando cada uma em termos de áreas:
(a)
(b)
Estime o valor dos seguintes números:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) .