Nos exercícios 6 a 10, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
10.
e
10.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o volume de um sólido formado ao girar a região
em torno do eixo dos
. A região
é delimitada pelas curvas
,
,
e
. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que envolve integrar usando a fórmula do volume de revolução em torno do eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções que delimitam a região. A função
é uma curva que varia com
, e
é o eixo
. Os limites de
são de
a
. Nosso objetivo é encontrar o volume gerado quando essa região gira ao redor do eixo
.
Passo 3
Vamos usar a fórmula do volume de revolução em torno do eixo
:
Aqui,
é a função que descreve a fronteira da região a ser girada, que no caso é
, e
e
são os limites de integração, que são
e
, respectivamente.
Passo 4
Substituindo na fórmula, temos:
Agora, precisamos expandir o quadrado para facilitar a integração:
Passo 5
Vamos reescrever a integral com os termos expandidos:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 6
Integrando cada termo:
-
-
-
Para
, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 7
Substituindo tudo de volta na expressão do volume:
Vamos combinar os termos semelhantes:
Passo 8
Agora, avaliamos essa expressão nos limites:
Para
:
Para
:
Passo 9
Calculando a diferença:
Multiplicando pelo
da frente:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 1 a 5, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
3. e
3.
Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
23. e
23.
Calcule as integrais a seguir interpretando cada uma em termos de áreas:
(a)
(b)
(a)
(b)
Estime o valor dos seguintes números:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)