Nos exercícios 1 a 5, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
3.
e
3.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar o volume de um sólido formado quando a região limitada pelas curvas
e
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrais e a ideia de somar infinitos “discos” de volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os pontos onde as duas curvas se encontram para determinar os limites da integração. Vamos igualar
:
Isso nos dá
e
. Então, os limites de integração serão de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos entender o método dos discos. Quando giramos uma função em torno do eixo
, cada pequeno pedaço do gráfico forma um disco com raio igual ao valor da função naquele ponto. A área desse disco é
, e o volume é essa área multiplicada por uma pequena espessura
.
Passo 4
Como temos duas curvas,
e
, precisamos determinar qual está acima da outra no intervalo de 0 a 1. Para isso, podemos comparar os valores das funções:
Para
:
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 5
O volume do sólido será a diferença entre os volumes gerados por cada curva. Então, a fórmula para o volume
será:
Simplificando as potências:
Passo 6
Vamos agora calcular a integral:
Calculando a diferença:
Passo 7
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.