Nos exercícios 1 a 5, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas.
3. y = x^2 e y = x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo que pede para encontrar o volume de um sólido formado quando a região limitada pelas curvas e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integrais e a ideia de somar infinitos “discos” de volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os pontos onde as duas curvas se encontram para determinar os limites da integração. Vamos igualar :
Isso nos dá e . Então, os limites de integração serão de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos entender o método dos discos. Quando giramos uma função em torno do eixo , cada pequeno pedaço do gráfico forma um disco com raio igual ao valor da função naquele ponto. A área desse disco é , e o volume é essa área multiplicada por uma pequena espessura .

Passo 4

Como temos duas curvas, e , precisamos determinar qual está acima da outra no intervalo de 0 a 1. Para isso, podemos comparar os valores das funções:
Para :
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 5

O volume do sólido será a diferença entre os volumes gerados por cada curva. Então, a fórmula para o volume será:
Simplificando as potências:

Passo 6

Vamos agora calcular a integral:
Calculando a diferença:

Passo 7

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados