Calcule as integrais seguir, por partes:
(h) integral x^2 ln ^2(x) d x (Resposta: x^33(ln ^2|x|-23 ln |x|+29)+C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, a gente vai usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando a integral é um produto de duas funções, como é o caso aqui com e . Vamos precisar aplicar essa técnica duas vezes para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
A ideia é escolher quais partes da nossa integral vão ser u = ln^2(x) e dv = x^2 , dx e de forma que a integral resultante seja mais fácil de resolver.
Para a nossa integral, vamos escolher:

Passo 3

Agora, precisamos calcular u = ln^2(x) du = 2 ln(x) cdot 1x , dx = 2 ln(x)x , dx e dv = x^2 , dx v = integral x^2 , dx = x^33 .
Primeiro, derivamos :
Em seguida, integramos para encontrar :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x^2 ln^2(x) , dx = uv - integral v , du = x^33 cdot ln^2(x) - integral x^33 cdot 2 ln(x)x , dx = x^33 ln^2(x) - 23 integral x^2 ln(x) , dx
Agora, ficamos com uma nova integral que precisamos resolver.

Passo 5

Vamos resolver u = ln(x) e dv = x^2 , dx usando novamente a integração por partes. Desta vez, escolhemos:
u = ln(x) du = 1x , dx dv = x^2 , dx v = x^33
Calculando e :

Passo 6

Aplicamos a fórmula novamente:
integral x^2 ln(x) , dx = uv - integral v , du = x^33 ln(x) - integral x^33 cdot 1x , dx = x^33 ln(x) - 13 integral x^2 , dx = x^33 ln(x) - 13 cdot x^33 + C = x^33 ln(x) - x^39 + C

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
integral x^2 ln^2(x) , dx = x^33 ln^2(x) - 23 ( x^33 ln(x) - x^39 ) + C
Vamos distribuir o = x^33 ln^2(x) - 29 x^3 ln(x) + 227 x^3 + C :

Resposta

integral x^2 ln^2(x) , dx = x^33 ( ln^2|x| - 23 ln |x| + 29 ) + C

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