Calcule as integrais a seguir, usando frações parciais:
(d) & integral x^2+x-3x^3-2 x^2-x+2 d x (Resposta: & -ln |x+1|2+ln |x-1|2+ln |x-2|+C)
6
Calcule as integrais a seguir usando o método da substituição trigonométrica:
(a) integral d xraizx^2+a^2( Resposta: ln |raiza^2+x^2+xa|+C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de frações parciais. A ideia aqui é quebrar essa fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente. Para isso, precisamos primeiro fatorar o denominador e depois expressar a fração como soma de termos simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x - 1)(x^2 - x - 2) . Para isso, procuramos raízes do polinômio. Testando valores simples, percebemos que x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2) é uma raiz porque substituindo na equação x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x - 1)(x + 1)(x - 2) .
Então, podemos dividir o polinômio por para encontrar os outros fatores:
Agora, fatoramos o quadrático :
Portanto, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, podemos expressar a fração original como soma de frações parciais:
x^2+x-3(x - 1)(x + 1)(x - 2) = Ax - 1 + Bx + 1 + Cx - 2
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x^2 + x - 3 = A(x + 1)(x - 2) + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)(x + 1) para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação para encontrar , e .

Passo 5

Primeiro, let’s set 1^2 + 1 - 3 = A(1 + 1)(1 - 2) + B(0) + C(0) -1 = A(2)(-1) -1 = -2A A = 12 :

Passo 6

Agora, vamos escolher (-1)^2 + (-1) - 3 = A(0) + B(-1 - 1)(-1 - 2) + C(-1 - 1)(-1 + 1) 1 - 1 - 3 = B(-2)(-3) -3 = 6B B = -12 :

Passo 7

Por último, escolhemos 2^2 + 2 - 3 = A(2 + 1)(2 - 2) + B(2 - 1)(2 - 2) + C(2 - 1)(2 + 1) 4 + 2 - 3 = C(1)(3) 3 = 3C C = 1 :

Passo 8

Agora que temos os valores de x^2+x-3(x - 1)(x + 1)(x - 2) = 12x - 1 + -12x + 1 + 1x - 2 , x^2+x-3x^3-2 x^2-x+2 = 12(x - 1) - 12(x + 1) + 1x - 2 e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:

Passo 9

Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 12(x - 1) , dx - integral 12(x + 1) , dx + integral 1x - 2 , dx
Integrando:
12 ln |x - 1| - 12 ln |x + 1| + ln |x - 2| + C

Resposta

-ln |x+1|2+ln |x-1|2+ln |x-2|+C

Exercícios relacionados