Calcule as integrais a seguir, usando frações parciais:
(d)
6
Calcule as integrais a seguir usando o método da substituição trigonométrica:
(a) Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando o método de frações parciais. A ideia aqui é quebrar essa fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente. Para isso, precisamos primeiro fatorar o denominador e depois expressar a fração como soma de termos simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x - 1)(x^2 - x - 2) . Para isso, procuramos raízes do polinômio. Testando valores simples, percebemos que x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2) é uma raiz porque substituindo na equação x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x - 1)(x + 1)(x - 2) .
Então, podemos dividir o polinômio por para encontrar os outros fatores:
Agora, fatoramos o quadrático :
Portanto, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, podemos expressar a fração original como soma de frações parciais: