Seja a função
(a) Faça um esboço da função .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para fazer um esboço da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais, identificando assíntotas, interceptações e o comportamento geral da função. Isso vai nos ajudar a desenhar o gráfico de forma clara e precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que não deixam o denominador igual a zero, porque divisão por zero não é permitida.
Temos:
Resolvendo:
Portanto, o domínio é excluindo e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero, pois a função tende ao infinito nessas regiões.
Então, temos assíntotas verticais em:

Passo 4

Em seguida, vamos determinar a assíntota horizontal. Para funções racionais onde o grau do numerador é menor que o do denominador, a assíntota horizontal é .
Aqui, o grau do numerador (1) é menor que o grau do denominador (2), então:

Passo 5

Vamos encontrar os pontos de interceptação com os eixos.
Interceptação com o eixo y:
Para encontrar, substituímos :
Portanto, a interceptação com o eixo y é .
Interceptação com o eixo x:
Para encontrar, igualamos :
Não há solução para essa equação, pois uma fração nunca é igual a zero a menos que o numerador seja zero, o que não é o caso aqui.

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos definidos pelas assíntotas verticais.
  • Para :
    A função está acima do eixo y.
  • Para :
    A função está abaixo do eixo y.
  • Para :
    A função está novamente acima do eixo y.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Assíntotas verticais em e .
  • Assíntota horizontal em .
  • Interceptação com o eixo y em .
  • A função nunca intercepta o eixo x.
  • Comportamento positivo nas regiões e e negativo entre .

Resposta

O esboço do gráfico de apresenta assíntotas verticais em e , uma assíntota horizontal em , uma interceptação com o eixo y em , e a função está acima do eixo y quando ou e abaixo do eixo y quando .

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