Seja a função
(a) Faça um esboço da função
.
(a) Faça um esboço da função
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para fazer um esboço da função
. Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais, identificando assíntotas, interceptações e o comportamento geral da função. Isso vai nos ajudar a desenhar o gráfico de forma clara e precisa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que não deixam o denominador igual a zero, porque divisão por zero não é permitida.
Temos:
Resolvendo:
Portanto, o domínio é
excluindo
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero, pois a função tende ao infinito nessas regiões.
Então, temos assíntotas verticais em:
Passo 4
Em seguida, vamos determinar a assíntota horizontal. Para funções racionais onde o grau do numerador é menor que o do denominador, a assíntota horizontal é
.
Aqui, o grau do numerador (1) é menor que o grau do denominador (2), então:
Passo 5
Vamos encontrar os pontos de interceptação com os eixos.
Interceptação com o eixo y:
Para encontrar, substituímos :
Para encontrar, substituímos
Portanto, a interceptação com o eixo y é
.
Interceptação com o eixo x:
Para encontrar, igualamos :
Para encontrar, igualamos
Não há solução para essa equação, pois uma fração nunca é igual a zero a menos que o numerador seja zero, o que não é o caso aqui.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos definidos pelas assíntotas verticais.
-
Para
: A função está acima do eixo y. -
Para
: A função está abaixo do eixo y. -
Para
: A função está novamente acima do eixo y.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Assíntotas verticais em
e . - Assíntota horizontal em
. - Interceptação com o eixo y em
. - A função nunca intercepta o eixo x.
- Comportamento positivo nas regiões
e e negativo entre .
Resposta
O esboço do gráfico de
apresenta assíntotas verticais em
e
, uma assíntota horizontal em
, uma interceptação com o eixo y em
, e a função está acima do eixo y quando
ou
e abaixo do eixo y quando
.
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