Calcule as integrais de superfície:
, onde
é a parte da superfície
situada entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de superfície
, onde
é a parte da superfície
entre os planos
e
. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais de superfície, que faz parte do cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a integral usando coordenadas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a superfície
. A equação
representa um cone duplo com vértice na origem. Porém, como estamos considerando apenas entre
e
, vamos trabalhar apenas com a parte superior do cone (onde
é positivo).
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
No nosso caso, pelo cone
, substituindo, temos:
Então, na parametrização,
, e
varia de
a
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o elemento de área
na superfície. Em coordenadas cilíndricas, para uma superfície
, o elemento de área é dado por:
No nosso caso,
, então:
Portanto:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na integral:
Os limites de integração para
são de
a
, e como
, os limites para
também serão de
a
. Já para
, varia de
a
.
Passo 6
Agora, montamos a integral:
Primeiro, integrando em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar
de
a
:
Portanto, toda a integral resulta em zero.
Resposta
A integral de superfície
é igual a 0.
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e
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,
orientado com normal exterior.
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