Calcule as integrais de superfície:
integral duplaS x d S, onde S é a parte da superfície z^2=x^2+y^2 situada entre os planos z=1 e z=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de superfície integral duplaS x , dS, onde S é a parte da superfície z^2=x^2+y^2 entre os planos z=1 e z=3. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais de superfície, que faz parte do cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a integral usando coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a superfície S. A equação z^2=x^2+y^2 representa um cone duplo com vértice na origem. Porém, como estamos considerando apenas entre z=1 e z=3, vamos trabalhar apenas com a parte superior do cone (onde z é positivo).

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
No nosso caso, pelo cone z^2=x^2+y^2, substituindo, temos:
z^2 = r^2 Rightarrow r = z
Então, na parametrização, r = z, e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o elemento de área dS na superfície. Em coordenadas cilíndricas, para uma superfície z = f(r,theta), o elemento de área é dado por:
dS = raiz(partial zpartial r)^2 + (partial zpartial theta)^2 + 1 , r , dr , dtheta
No nosso caso, z = r, então:
partial zpartial r = 1, partial zpartial theta = 0
Portanto:
dS = raiz1^2 + 0^2 + 1 , r , dr , dtheta = raiz2 , r , dr , dtheta

Passo 5

Agora, substituímos x e dS na integral:
integral duplaS x , dS = integral duplaS r costheta cdot raiz2 , r , dr , dtheta = raiz2 integral duplaS r^2 costheta , dr , dtheta
Os limites de integração para z são de 1 a 3, e como r = z, os limites para r também serão de 1 a 3. Já para theta, varia de 0 a 2pi.

Passo 6

Agora, montamos a integral:
raiz2 integral0^2pi integral1^3 r^2 costheta , dr , dtheta
Primeiro, integrando em relação a r:
integral1^3 r^2 , dr = [ r^33 ]1^3 = 273 - 13 = 263
Então, a integral fica:
raiz2 cdot 263 integral0^2pi costheta , dtheta

Passo 7

Agora, vamos integrar costheta de 0 a 2pi:
integral0^2pi costheta , dtheta = [ sintheta ]0^2pi = sin(2pi) - sin(0) = 0 - 0 = 0
Portanto, toda a integral resulta em zero.

Resposta

A integral de superfície integral duplaS x , dS é igual a 0.

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