Calcule
nos seguintes casos:
e
é o cubo limitado pelos planos
,
orientado com normal exterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial é
e
é a superfície de um cubo delimitado pelos planos
,
,
. Vamos usar o conceito de Teorema da Divergência para facilitar nossa vida.
Passo 2
Primeiro, o que é a integral de superfície
? Basicamente, ela mede o fluxo do campo
atravessando a superfície
. A normal
é uma vector perpendicular à superfície, apontando para fora do cubo.
Passo 3
Para resolver isso de forma mais simples, vamos usar o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona a integral de superfície com uma integral tripla sobre o volume
limitado por
. A fórmula é:
Isso significa que, em vez de calcular a integral na superfície, podemos calcular a divergência de
e integrar isso sobre o volume do cubo.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Para o nosso campo:
Então,
Passo 5
Agora, vamos integrar a divergência sobre o volume do cubo. O cubo vai de
a
,
a
, e
a
. Já que a divergência é constante (-2), a integral tripla fica:
A volume de um cubo com lado de comprimento 2 (de
a
) é
. Então,
Resposta
Portanto, o valor da integral de superfície é
.
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Calcule as integrais de superfície:
, onde
é a parte da superfície
situada entre os planos
e
.
Calcule a derivada das funções:
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