Calcule integral duplaS F cdot n nos seguintes casos:
F(x, y, z)=(y-x, z-y, y-x) e S é o cubo limitado pelos planos x= pm 1, y= pm 1, z= pm 1 orientado com normal exterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot n, onde o campo vetorial é F(x, y, z) = (y - x, z - y, y - x) e S é a superfície de um cubo delimitado pelos planos x= pm 1, y= pm 1, z= pm 1. Vamos usar o conceito de Teorema da Divergência para facilitar nossa vida.

Passo 2

Primeiro, o que é a integral de superfície integral duplaS F cdot n? Basicamente, ela mede o fluxo do campo F atravessando a superfície S. A normal n é uma vector perpendicular à superfície, apontando para fora do cubo.

Passo 3

Para resolver isso de forma mais simples, vamos usar o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona a integral de superfície com uma integral tripla sobre o volume V limitado por S. A fórmula é:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Isso significa que, em vez de calcular a integral na superfície, podemos calcular a divergência de F e integrar isso sobre o volume do cubo.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Para o nosso campo:
  • Fx = y - x Rightarrow partial Fxpartial x = -1
  • Fy = z - y Rightarrow partial Fypartial y = -1
  • Fz = y - x Rightarrow partial Fzpartial z = 0
Então,
nabla cdot F = (-1) + (-1) + 0 = -2

Passo 5

Agora, vamos integrar a divergência sobre o volume do cubo. O cubo vai de x = -1 a 1, y = -1 a 1, e z = -1 a 1. Já que a divergência é constante (-2), a integral tripla fica:
integral triplaV (-2) , dV = -2 times Volume do cubo
A volume de um cubo com lado de comprimento 2 (de -1 a 1) é 2 times 2 times 2 = 8. Então,
integral triplaV (-2) , dV = -2 times 8 = -16

Resposta

Portanto, o valor da integral de superfície é boxed-16.

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