Calcule as integrais trigonométricas: integral tan ^5(theta) sec ^3(theta) d theta;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral tan^5(theta) sec^3(theta) dtheta. Esse exercício é de integrais trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e conhecer algumas identidades trigonométricas básicas, como a relação entre tan(theta) e sec(theta).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a substituição. Observe que tan^5(theta) pode ser escrito como tan^4(theta) cdot tan(theta). Então, temos:
integral tan^5(theta) sec^3(theta) dtheta = integral tan^4(theta) cdot tan(theta) sec^3(theta) dtheta

Passo 3

Sabemos que tan^2(theta) = sec^2(theta) - 1. Vamos usar isso para simplificar tan^4(theta):
tan^4(theta) = (tan^2(theta))^2 = (sec^2(theta) - 1)^2
Então, substituindo na integral:
integral (sec^2(theta) - 1)^2 cdot tan(theta) sec^3(theta) dtheta

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar u = sec(theta). Então, a derivada de u em relação a theta é:
dudtheta = sec(theta)tan(theta)
Ou seja,
du = sec(theta)tan(theta) dtheta

Passo 5

Observe que na nossa integral temos tan(theta) sec^3(theta) dtheta. Podemos reescrever isso como sec^2(theta) cdot sec(theta)tan(theta) dtheta, que é sec^2(theta) du, já que du = sec(theta)tan(theta) dtheta.
Então, a integral fica:
integral (sec^2(theta) - 1)^2 cdot sec^2(theta) du

Passo 6

Agora, substituímos sec(theta) por u na integral:
integral (u^2 - 1)^2 cdot u^2 du
Vamos expandir (u^2 - 1)^2:
(u^2 - 1)^2 = u^4 - 2u^2 + 1
Então, a integral se torna:
integral (u^4 - 2u^2 + 1) cdot u^2 du = integral (u^6 - 2u^4 + u^2) du

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^6 du = u^77 integral -2u^4 du = -2u^55 integral u^2 du = u^33
Então, a integral completa é:
u^77 - 2u^55 + u^33 + C

Passo 8

Agora, voltamos à variável original theta, lembrando que u = sec(theta):
sec^7(theta)7 - 2sec^5(theta)5 + sec^3(theta)3 + C

Resposta

A integral integral tan^5(theta) sec^3(theta) dtheta é igual a:
sec^7(theta)7 - 2sec^5(theta)5 + sec^3(theta)3 + C

Exercícios relacionados