Determine o raio de convergência e todos os valores de x para os quais as seguintes séries de potência convergem.
sumn=1^infty (x-2)^n(2 n-1) 2^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potência:
sumn=1^infty (x-2)^n(2n-1) 2^n
O objetivo é descobrir qual é o raio de convergência dessa série, ou seja, até onde os valores de fazem a série “funcionar” e convergir para um número. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries de potência e aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar esse raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Raio de Convergência. Em séries de potência da forma , o raio de convergência é o valor tal que a série converge para todos os dentro do intervalo e diverge fora desse intervalo. Aqui, porque nossa série está em torno de .

Passo 3

Agora, para encontrar limn to infty | an+1an | < 1 , vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que a série converge se:
No nosso caso, . Vamos calcular esse limite.

Passo 4

Vamos calcular an+1an = (x-2)^n+1(2(n+1)-1)2^n+1(x-2)^n(2n-1)2^n = (x-2)^n+1(2n+1)2^n+1 times (2n-1)2^n(x-2)^n = (x-2)(2n-1)(2n+1)2 :

Passo 5

Agora, vamos simplificar e calcular o limite quando limn to infty | (x-2)(2n-1)(2n+1)2 | = | (x-2)2 | times limn to infty 2n-12n+1 = | x-22 | times 1 = | x-22 | tende ao infinito:

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
| x-22 | < 1
Vamos resolver essa inequação para encontrar os valores de .

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 2:
|x - 2| < 2
Isso significa que -2 < x - 2 < 2 deve estar dentro de 2 unidades de 2. Portanto:
0 < x < 4
Somando 2 em todas as partes:

Passo 8

Então, o Raio de Convergência é 2, já que . Agora, precisamos verificar se a série converge nos extremos e .

Passo 9

Para sumn=1^infty (0-2)^n(2n-1)2^n = sumn=1^infty (-2)^n(2n-1)2^n = sumn=1^infty (-1)^n2n -1 :
Substituindo na série:
sumn=1^infty (4-2)^n(2n-1)2^n = sumn=1^infty 2^n(2n-1)2^n = sumn=1^infty 12n -1
Essa série é alternada e atende aos critérios do Teste da Alternância, pois os termos diminuem e tendem a zero. Logo, a série converge nessa extremidade.
Para :
Substituindo na série:
Essa série é a soma de , que é similar à série harmônica e diverge.

Resposta

O raio de convergência é e a série converge para todos os valores de no intervalo .

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