Use o método de Coeficientes Indeterminados para encontrar a solução geral da equação diferencial e a solução do problema de valor inicial dado.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial:
A gente precisa usar o Método de Coeficientes Indeterminados para encontrar a solução geral dessa equação diferencial e também a solução do problema de valor inicial (mas como não foram dados valores iniciais específicos, vamos focar na solução geral mesmo). Vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares não homogêneas usando esse método.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Ela é composta pela soma da solução complementar (ou geral da equação homogênea associada) e da solução particular da equação não homogênea.
Então, nossa equação homogênea associada é:
Passo 3
Vamos resolver a equação homogênea
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se tivermos).
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Como o lado direito é
, sugerimos uma solução particular da forma:
Onde
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 5
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Agora, substituímos
e
na equação diferencial original:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Podemos reescrever isso como:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de
e
devem ser iguais nos dois lados da equação. Assim, temos:
Passo 7
Resolvendo para
e
:
Da segunda equação:
Como
(não está na ressonância), então
.
Da primeira equação:
Passo 8
Então, nossa solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.