Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(g) integral triplaW a d x d y d z, onde W=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2+z^2 <= 1, x >= 0

Passo 1

Vamos calcular a integral tripla integral triplaW a , dx , dy , dz, onde a região W é definida por x^2+y^2+z^2 <= 1 e x >= 0. Esse problema envolve cálculo de integrais múltiplas e uma mudança de variável para facilitar a resolução. Vamos precisar usar coordenadas esféricas, que são ótimas para regiões esféricas como essa.

Passo 2

Primeiro, entendamos a região W. Ela é a parte do interior da esfera de raio 1 centrada na origem, mas com x >= 0. Isso significa que estamos lidando com uma metade da esfera. Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas, onde cada ponto é representado por (rho, theta, phi).

Passo 3

Nas coordenadas esféricas:
  • rho é a distância do ponto à origem.
  • theta é o ângulo com o eixo z.
  • phi é o ângulo no plano xy a partir do eixo x.
A transformação das coordenadas é:
x = rho sintheta cosphi
y = rho sintheta sinphi
z = rho costheta
E o elemento de volume se transforma em:
dV = rho^2 sintheta , drho , dtheta , dphi

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para rho, theta e phi na região W:
  • rho vai de 0 a 1, já que estamos dentro da esfera de raio 1.
  • theta vai de 0 a pi, cobrindo todo o ângulo desde o polo norte até o polo sul.
  • phi vai de -pi2 a pi2 porque x >= 0, o que corresponde à meia esfera frontal.

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
integral triplaW a , dx , dy , dz = a integral0^1 integral0^pi integral-pi2^pi2 rho^2 sintheta , dphi , dtheta , drho
Aqui, a é uma constante que pode ser fatorada para fora da integral.

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a phi:
integral-pi2^pi2 dphi = pi
Agora a integral fica:
a pi integral0^1 integral0^pi rho^2 sintheta , dtheta , drho

Passo 7

Em seguida, integramos em relação a theta:
integral0^pi sintheta , dtheta = 2
Portanto, a integral agora é:
a pi cdot 2 integral0^1 rho^2 , drho

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a rho:
integral0^1 rho^2 , drho = [rho^33]0^1 = 13
Multiplicando tudo:
a pi cdot 2 cdot 13 = 2api3

Resposta

A integral tripla integral triplaW a , dx , dy , dz vale 2api3.

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