Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(g)
, onde
(g)
Passo 1
Vamos calcular a integral tripla
, onde a região
é definida por
e
. Esse problema envolve cálculo de integrais múltiplas e uma mudança de variável para facilitar a resolução. Vamos precisar usar coordenadas esféricas, que são ótimas para regiões esféricas como essa.
Passo 2
Primeiro, entendamos a região
. Ela é a parte do interior da esfera de raio 1 centrada na origem, mas com
. Isso significa que estamos lidando com uma metade da esfera. Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas, onde cada ponto é representado por
.
Passo 3
Nas coordenadas esféricas:
-
é a distância do ponto à origem. -
é o ângulo com o eixo . -
é o ângulo no plano a partir do eixo .
A transformação das coordenadas é:
E o elemento de volume se transforma em:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para
,
e
na região
:
-
vai de 0 a 1, já que estamos dentro da esfera de raio 1. -
vai de 0 a , cobrindo todo o ângulo desde o polo norte até o polo sul. -
vai de a porque , o que corresponde à meia esfera frontal.
Passo 5
Substituindo tudo na integral, temos:
Aqui,
é uma constante que pode ser fatorada para fora da integral.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora a integral fica:
Passo 7
Em seguida, integramos em relação a
:
Portanto, a integral agora é:
Passo 8
Finalmente, integramos em relação a
:
Multiplicando tudo:
Resposta
A integral tripla
vale
.