Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(b)
, onde
é o sólido limitado pelas superfícies
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral
, onde a região
é limitada pelas superfícies
e
. Vamos usar mudança de variáveis para simplificar a integração. Para isso, vamos precisar usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para simetria circular como temos aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam a região
. A superfície
representa um cone, enquanto
representa a parte superior de uma esfera com raio 1. A interseção dessas duas superfícies determina os limites da nossa região de integração.
Passo 3
Vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. As coordenadas cilíndricas são dadas por:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
Isso vai facilitar a integração devido à simetria circular da região
.
Passo 4
Agora, vamos reescrever as equações das superfícies em coordenadas cilíndicas:
Então, a região
está entre
e
.
Passo 5
Determinar os limites de integração para
,
e
. Como não há restrição para
, ele varia de
a
. Para
, precisamos encontrar o ponto onde as duas superfícies se intersectam:
Então,
varia de
até
. E para
, varia de
até
.
Passo 6
Substituir a função e os limites na integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Passo 7
Vamos resolver a integral em relação a
primeiro:
Passo 8
Agora, substituímos o resultado na integral dupla:
Simplificando:
Passo 9
Vamos separar as integrais:
Primeira integral interna:
Substituindo
,
, então:
Então:
Segunda integral interna:
Então, a integral dupla fica:
Passo 10
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
A integral tripla vale
.