Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(b) integral triplaW=raiz4-x^2-y^2 1z^2 d x d y d z, onde W é o sólido limitado pelas superfícies z=raizx^2+y^2, z=raiz1-x^2-y^2 e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral , onde a região é limitada pelas superfícies e . Vamos usar mudança de variáveis para simplificar a integração. Para isso, vamos precisar usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para simetria circular como temos aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam a região . A superfície representa um cone, enquanto representa a parte superior de uma esfera com raio 1. A interseção dessas duas superfícies determina os limites da nossa região de integração.

Passo 3

Vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. As coordenadas cilíndricas são dadas por:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:
dV = r , dr , dtheta , dz
Isso vai facilitar a integração devido à simetria circular da região .

Passo 4

Agora, vamos reescrever as equações das superfícies em coordenadas cilíndicas:
z = raizx^2 + y^2 Rightarrow z = r
z = raiz1 - x^2 - y^2 Rightarrow z = raiz1 - r^2
Então, a região está entre e .

Passo 5

Determinar os limites de integração para r = raiz1 - r^2 Rightarrow r^2 = 1 - r^2 Rightarrow 2r^2 = 1 Rightarrow r = raiz22 , e . Como não há restrição para , ele varia de a . Para , precisamos encontrar o ponto onde as duas superfícies se intersectam:
Então, varia de até . E para , varia de até .

Passo 6

Substituir a função e os limites na integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaW 1z^2 , dx , dy , dz = integral0^2pi integral0^raiz22 integralr^raiz1 - r^2 1z^2 cdot r , dz , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral em relação a integralr^raiz1 - r^2 1z^2 , dz = [ -1z ]r^raiz1 - r^2 = -1raiz1 - r^2 + 1r primeiro:

Passo 8

Agora, substituímos o resultado na integral dupla:
integral0^2pi integral0^raiz22 ( -1raiz1 - r^2 + 1r ) r , dr , dtheta
Simplificando:
integral0^2pi integral0^raiz22 ( -rraiz1 - r^2 + 1 ) , dr , dtheta

Passo 9

Vamos separar as integrais:
integral0^2pi [ integral0^raiz22 -rraiz1 - r^2 , dr + integral0^raiz22 1 , dr ] dtheta
Primeira integral interna:
integral -rraiz1 - r^2 , dr
Substituindo 12 integral 1raizu , du = raizu = raiz1 - r^2 , [ raiz1 - r^2 ]0^raiz22 = raiz1 - 12 - raiz1 - 0 = raiz22 - 1 , então:
integral0^raiz22 1 , dr = raiz22
Então:
raiz22 - 1 + raiz22 = raiz2 - 1
Segunda integral interna:
Então, a integral dupla fica:

Passo 10

Finalmente, integramos em relação a integral0^2pi (raiz2 - 1) , dtheta = (raiz2 - 1) cdot 2pi = 2pi (raiz2 - 1) :

Resposta

A integral tripla vale .

Exercícios relacionados