Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(f) , onde é o sólido limitado inferiormente por e superiormente por
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla que envolve a função sobre a região . A matéria que estamos usando aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Para facilitar, vamos fazer uma mudança de coordenadas utilizando coordenadas esféricas, que geralmente simplificam integrais envolvendo termos como .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . Ela é limitada inferiormente pelo cone e superiormente pela esfera . Vamos converter essas equações para coordenadas esféricas.
Passo 3
Nas coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume fica .
Passo 4
Vamos reescrever as equações que definem em coordenadas esféricas:
Para o cone , dividindo os dois lados por , temos , o que implica .
Para a esfera , expandindo e simplificando, encontramos que no centro está em e o raio é .
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração:
varia de a porque a região é simétrica em torno do eixo .
varia de a devido ao cone.
varia de até a interseção da esfera com o cone. Substituindo na equação da esfera, encontramos .
Passo 6
Agora, vamos escrever a integral em coordenadas esféricas:
Simplificando, temos e multiplicando pelo elemento de volume , fica .