Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(f) integral triplaW(x^2+y^2+z^2)^4 d x d y d z, onde W é o sólido limitado inferiormente por z=raizx^2+y^2 e superiormente por x^2+y^2+(z-12)^2=14

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla que envolve a função sobre a região . A matéria que estamos usando aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Para facilitar, vamos fazer uma mudança de coordenadas utilizando coordenadas esféricas, que geralmente simplificam integrais envolvendo termos como .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela é limitada inferiormente pelo cone e superiormente pela esfera . Vamos converter essas equações para coordenadas esféricas.

Passo 3

Nas coordenadas esféricas, temos:
x = rho sin phi cos theta, y = rho sin phi sin theta, z = rho cos phi
E o elemento de volume fica .

Passo 4

Vamos reescrever as equações que definem em coordenadas esféricas:
  • Para o cone , dividindo os dois lados por , temos , o que implica .
  • Para a esfera , expandindo e simplificando, encontramos que no centro está em e o raio é .

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração:
  • varia de a porque a região é simétrica em torno do eixo .
  • varia de a devido ao cone.
  • varia de até a interseção da esfera com o cone. Substituindo na equação da esfera, encontramos .

Passo 6

Agora, vamos escrever a integral em coordenadas esféricas:
integral triplaW (x^2 + y^2 + z^2)^4 dV = integral0^2pi integral0^pi4 integral0^raiz22 (rho^2)^4 rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Simplificando, temos e multiplicando pelo elemento de volume , fica .

Passo 7

Vamos integrar em ordem:
integral0^2pi dtheta = 2pi
integral0^pi4 sin phi , dphi = 1 - cos(pi4) = 1 - raiz22
integral0^raiz22 rho^10 , drho = rho^1111 gr|0^raiz22 = (raiz22)^1111

Passo 8

Multiplicando tudo:
2pi cdot (1 - raiz22) cdot (raiz22)^1111 = 2pi11 (1 - raiz22) (raiz22)^11

Resposta

A integral tripla vale .

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