Sabendo que lim x infty(1+1x)^x=e, determine:
g) lim x pi2(1+cos x)^3 sec x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de quando se aproxima de . Vamos usar o conceito de limites que envolve uma base próxima de 1 elevada a uma potência que tende ao infinito, algo relacionado à definição do número .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com e quando se aproxima de :
  • , então está perto de 0.
  • , então quando está perto de 0, tende ao infinito.

Passo 3

Assim, a expressão fica parecida com , que é o formato da definição de , que sabemos que .

Passo 4

Para aplicar essa ideia, vamos reescrever a expressão de uma forma que se assemelhe à definição de . Vamos chamar , então quando , .
Sabemos que para pequeno:

Passo 5

Substituindo essas aproximações na expressão original:
(1 + cos x)^3 sec x approx (1 + y)^3y

Passo 6

Agora, usamos a definição de limy to 0 (1 + y)^1y = e :
limy to 0 (1 + y)^3y = e^3
Portanto:

Resposta

O limite é .

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