Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(e) integral triplaW e^raiz(x^2+y^2+z^2)^3 d x d y d z, onde W=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2+z^2 <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais triplas. A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região , que é a bola unitária . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam bastante quando estamos lidando com regiões esféricas e funções que dependem apenas da distância até a origem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é igual a em coordenadas esféricas, onde é a distância do ponto até a origem. Assim, a expressão dentro do expoente fica . Então, a função que vamos integrar passa a ser .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas. Lembrando que em coordenadas esféricas, o elemento de volume integral triplaW e^r^3 , dV = integral0^2pi integral0^pi integral0^1 e^r^3 cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta é dado por . A integral tripla fica então:

Passo 4

Vamos integrar em ordem. Primeiro, a integração em integral0^2pi dtheta = 2pi de 0 a é direta:

Passo 5

Em seguida, a integração em integral0^pi sinphi , dphi = 2 de 0 a com :

Passo 6

Agora, sobra a integração em integral0^1 e^r^3 cdot r^2 , dr de 0 a 1:
Aqui, vamos usar uma substituição para facilitar. Seja , então ou .

Passo 7

Substituindo na integral:
integral0^1 e^u cdot du3 = 13 integral0^1 e^u , du = 13 ( e^1 - e^0 ) = 13 (e - 1)

Passo 8

Agora, juntando tudo:
2pi times 2 times 13 (e - 1) = 4pi3 (e - 1)

Resposta

A integral tripla vale .

Exercícios relacionados