Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente.
(e)
, onde
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais triplas. A gente precisa calcular a integral tripla de
sobre a região
, que é a bola unitária
. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam bastante quando estamos lidando com regiões esféricas e funções que dependem apenas da distância até a origem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é igual a
em coordenadas esféricas, onde
é a distância do ponto até a origem. Assim, a expressão dentro do expoente fica
. Então, a função que vamos integrar passa a ser
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas. Lembrando que em coordenadas esféricas, o elemento de volume
é dado por
. A integral tripla fica então:
Passo 4
Vamos integrar em ordem. Primeiro, a integração em
de 0 a
é direta:
Passo 5
Em seguida, a integração em
de 0 a
com
:
Passo 6
Agora, sobra a integração em
de 0 a 1:
Aqui, vamos usar uma substituição para facilitar. Seja
, então
ou
.
Passo 7
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, juntando tudo:
Resposta
A integral tripla vale
.