Sabendo que lim x infty(1+1x)^x=e, determine:
d) lim x 0(1+a x)^bx

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite . Esse problema está ligado ao tópico de limites e exponenciais. Pra resolver, vamos precisar entender como manipular expressões exponenciais quando a variável tá indo para zero. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para deixar a expressão mais parecida com a que a gente já conhece, que é (1 + a x)^bx = (1 + at)^b t . Vamos chamar , assim quando , . Substituindo na nossa expressão:
Agora, a gente tem algo parecido com a expressão que sabe que tende a .

Passo 3

A expressão pode ser reescrita como . Sabemos que , porque se a gente generalizar a fórmula original para .

Passo 4

Então, substituindo esse resultado, temos:
[(1 + at)^t]^b (e^a)^b = e^a b
Portanto, o limite que a gente queria calcular é .

Resposta

lim x 0(1+a x)^bx = e^a b

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