Sabendo que lim x infty(1+1x)^x=e, determine:
i) lim x 0^-(1+2 x)^3 / x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite de quando se aproxima de zero pela esquerda ( ). Para resolver isso, vamos usar um conceito de limites que envolve a constante , que é fundamental no estudo de exponenciais e crescimento contínuo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Essa é uma definição clássica de usando limites. Queremos usar algo parecido para nosso problema, mas adaptando para a forma que temos aqui.

Passo 3

Observe que nosso limite é . Vamos fazer uma substituição para facilitar: seja . Então, quando , .

Passo 4

Substituindo (1 + 2x)^3x = (1 - 2t)^3-t = (1 - 2t)^-3t na expressão, temos:
Agora, nossa expressão está na forma , onde e .

Passo 5

Sabemos que limt 0^+(1 - 2t)^-3t = e^(-2)(-3) = e^6 . Aplicando isso à nossa expressão:

Resposta

O limite é igual a .

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