Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
e) Sólido delimitado pelo cone elíptico e o plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando integração tripla. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o volume de um sólido que é delimitado por um cone elíptico dado pela equação e pelo plano . Então, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo multivariado, especificamente integrais triplas, para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a equação do cone elíptico. A equação pode ser reescrita isolando :
Dividindo ambos os lados por 36:
Logo,
Isso nos mostra que o cone se abre para cima a partir da origem até o plano .
Passo 3
Para calcular o volume, vamos usar coordenadas cilíndricas adaptadas para elipses, já que temos um cone elíptico. A gente pode fazer uma mudança de variável para simplificar a integração. Vamos definir:
Com isso, a equação do cone fica mais simples. Além disso, precisamos calcular o elemento de volume na nova coordenada, que será ajustado pelo Jacobiano dessa transformação.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. O plano define a altura máxima do sólido. No cone, para cada , os valores de e variam de forma que vai de 0 a 1, de 0 até uma função linear de , e de 0 a .
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla para o volume:
Onde é a expressão que relaciona e a partir da equação do cone.