Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
e) Sólido delimitado pelo cone elíptico 4x^2 + 9y^2 - 36z^2 = 0 e o plano z = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando integração tripla. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o volume de um sólido que é delimitado por um cone elíptico dado pela equação e pelo plano . Então, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo multivariado, especificamente integrais triplas, para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a equação do cone elíptico. A equação pode ser reescrita isolando :
Dividindo ambos os lados por 36:
Logo,
Isso nos mostra que o cone se abre para cima a partir da origem até o plano .

Passo 3

Para calcular o volume, vamos usar coordenadas cilíndricas adaptadas para elipses, já que temos um cone elíptico. A gente pode fazer uma mudança de variável para simplificar a integração. Vamos definir:
Com isso, a equação do cone fica mais simples. Além disso, precisamos calcular o elemento de volume na nova coordenada, que será ajustado pelo Jacobiano dessa transformação.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. O plano define a altura máxima do sólido. No cone, para cada , os valores de e variam de forma que vai de 0 a 1, de 0 até uma função linear de , e de 0 a .

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla para o volume:
á
Onde á é a expressão que relaciona e a partir da equação do cone.

Passo 6

Resolvendo a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em :
Depois, integramos em :
ááá
E por fim, integramos em :
áá

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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