Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
i) Sólido delimitado pelo parabolóide elíptico 3 x^2 + y^2 = z e abaixo do cilindro x^2 + z = 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido usando integração tripla. Esse sólido é limitado por um parabolóide elíptico dado por e está abaixo do cilindro . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral multivariável, especialmente integração em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que delimitam o sólido.
  • Parabolóide elíptico : Essa é uma superfície que abre para cima, já que o coeficiente de é positivo. Ela descreve como varia com e .
  • Cilindro : Esse cilindro é paralelo ao eixo e descreve como varia com .
Nosso objetivo é encontrar a região onde essas duas superfícies se intersectam para definir os limites de integração.

Passo 3

Para encontrar a interseção das duas superfícies, igualamos as expressões para :
Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre e :
Essa é a equação de uma elipse no plano .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. Observando a equação da elipse , vemos que:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .
Para , o parabolóide está abaixo do cilindro, então varia de até .

Passo 5

Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral simplifica para:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Vamos calcular cada termo separadamente:
Aplicando os limites de :
Simplificando:

Passo 8

Agora, a integral para fica:
Devido à simetria da função em relação a , podemos simplificar a integral:

Passo 9

Para resolver a integral , usamos uma substituição trigonométrica. Vamos deixar isso resumido:
A integral resulta em .

Passo 10

Substituindo de volta:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
e) Sólido delimitado pelo cone elíptico 4x^2 + 9y^2 - 36z^2 = 0 e o plano z = 1.
Calcule as integrais triplas:
c) integral triplaD x y^2 z^3 d x d y d z onde D=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,0 <= z <= 1
Calcule, usando mudança de coordenadas:
d) Calcule o volume do sólido intersecção da esfera x^2 + y^2 + z^2 <= 6 com o parabolóide z <= x^2 + y^2.
Calcule, usando mudança de coordenadas:
g) integral1^2 integral0^raiz9-x^2 integral0^raiz4-x^2-y^2 1x^2+y^2+z^2 d z d x d y.