Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
i) Sólido delimitado pelo parabolóide elíptico
e abaixo do cilindro
.
i) Sólido delimitado pelo parabolóide elíptico
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido usando integração tripla. Esse sólido é limitado por um parabolóide elíptico dado por
e está abaixo do cilindro
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral multivariável, especialmente integração em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que delimitam o sólido.
-
Parabolóide elíptico
: Essa é uma superfície que abre para cima, já que o coeficiente de é positivo. Ela descreve como varia com e . -
Cilindro
: Esse cilindro é paralelo ao eixo e descreve como varia com .
Nosso objetivo é encontrar a região onde essas duas superfícies se intersectam para definir os limites de integração.
Passo 3
Para encontrar a interseção das duas superfícies, igualamos as expressões para
:
Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre
e
:
Essa é a equação de uma elipse no plano
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. Observando a equação da elipse
, vemos que:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a .
Para
, o parabolóide está abaixo do cilindro, então
varia de
até
.
Passo 5
Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para o volume
:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral simplifica para:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Vamos calcular cada termo separadamente:
Aplicando os limites de
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, a integral para
fica:
Devido à simetria da função em relação a
, podemos simplificar a integral:
Passo 9
Para resolver a integral
, usamos uma substituição trigonométrica. Vamos deixar isso resumido:
A integral
resulta em
.
Passo 10
Substituindo de volta:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
e) Sólido delimitado pelo cone elíptico e o plano
.
e) Sólido delimitado pelo cone elíptico
Calcule as integrais triplas:
c) onde
c)
Calcule, usando mudança de coordenadas:
d) Calcule o volume do sólido intersecção da esfera com o parabolóide
.
d) Calcule o volume do sólido intersecção da esfera
Calcule, usando mudança de coordenadas:
g) .
g)