Calcule as integrais triplas integral duplaU integral f(x, y, z) d x d y d z para o sólido U limitado pelos objetos listados abaixo e para a f apontada:
(1.2) planos coordenados no 1^0 octante e planos x+2 y+3 z=6 e z=1 ; f(x, y, z)=3 x y

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral tripla da função sobre um sólido que está no primeiro octante. O primeiro octante significa que , e são todos maiores ou iguais a zero. Além disso, esse sólido é limitado pelos planos coordenados (ou seja, os planos , e ), pelo plano e pelo plano . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial para definir os limites de integração e depois aplicar a integral tripla.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido . Ele está no primeiro octante, então começamos com , e . O plano corta o primeiro octante e define uma superfície superior para o nosso sólido. Já o plano define uma fronteira inferior para . Então, varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os limites para e em função de . A equação do plano pode ser rearranjada para . Para cada valor de , varia de 0 até . Assim, os limites para são de 0 a .

Passo 4

Em seguida, para cada valor de e , varia de 0 até . Portanto, os limites para são de 0 a .

Passo 5

Agora que temos os limites de integração definidos, podemos configurar a integral tripla. A ordem de integração que vamos usar é integral triplaU 3xy , dx , dy , dz = integralz=0^1 integraly=0^6 - 3z2 integralx=0^6 - 2y - 3z 3xy , dx , dy , dz . Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos começar resolvendo a integral interna com relação a integral0^6 - 2y - 3z 3xy , dx = 3y integral0^6 - 2y - 3z x , dx = 3y [ x^22 ]0^6 - 2y - 3z = 3y ( (6 - 2y - 3z)^22 ) = 3y2 (6 - 2y - 3z)^2 :

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral do meio e resolvemos com relação a integral0^6 - 3z2 3y2 (6 - 2y - 3z)^2 , dy :
32 integralu=6 - 3z^0 6 - u - 3z2 u^2 ( -du2 ) = 32 cdot 14 integral0^6 - 3z (6 - u - 3z) u^2 , du = 38 integral0^6 - 3z (6 - 3z - u) u^2 , du
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja (6 - 3z)u^2 - u^3 , então 38 [ (6 - 3z) integral0^6 - 3z u^2 , du - integral0^6 - 3z u^3 , du ] ou integral u^2 , du = u^33, integral u^3 , du = u^44 . Quando 38 [ (6 - 3z) ( (6 - 3z)^33 ) - ( (6 - 3z)^44 ) ] = 38 [ (6 - 3z)^43 - (6 - 3z)^44 ] = 38 [ ( 412 - 312 ) (6 - 3z)^4 ] = 38 cdot 112 (6 - 3z)^4 = 132 (6 - 3z)^4 , ; e quando , .
Substituindo:
Expandindo a expressão dentro da integral:
Então, temos:
Calculando as integrais:
Substituindo:

Passo 8

Agora, substituímos esse resultado na integral externa e resolvemos com relação a integral0^1 132 (6 - 3z)^4 , dz :
132 cdot ( -13 ) integral6^3 u^4 , du = 132 cdot 13 integral3^6 u^4 , du = 196 [ u^55 ]3^6 = 196 ( 6^55 - 3^55 ) = 196 cdot 5 (7776 - 243) = 1480 cdot 7533 = 7533480
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja 2511160 , então ou . Quando , ; e quando , .
Substituindo:
Simplificando a fração:
Dividindo numerador e denominador por 3:

Resposta

A integral tripla vale .

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