Calcule as integrais triplas
para o sólido
limitado pelos objetos listados abaixo e para a
apontada:
(1.2) planos coordenados no
octante e planos
e
(1.2) planos coordenados no
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral tripla da função
sobre um sólido
que está no primeiro octante. O primeiro octante significa que
,
e
são todos maiores ou iguais a zero. Além disso, esse sólido é limitado pelos planos coordenados (ou seja, os planos
,
e
), pelo plano
e pelo plano
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial para definir os limites de integração e depois aplicar a integral tripla.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido
. Ele está no primeiro octante, então começamos com
,
e
. O plano
corta o primeiro octante e define uma superfície superior para o nosso sólido. Já o plano
define uma fronteira inferior para
. Então,
varia de 0 a 1.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os limites para
e
em função de
. A equação do plano
pode ser rearranjada para
. Para cada valor de
,
varia de 0 até
. Assim, os limites para
são de 0 a
.
Passo 4
Em seguida, para cada valor de
e
,
varia de 0 até
. Portanto, os limites para
são de 0 a
.
Passo 5
Agora que temos os limites de integração definidos, podemos configurar a integral tripla. A ordem de integração que vamos usar é
. Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos começar resolvendo a integral interna com relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral do meio e resolvemos com relação a
:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, então
ou
. Quando
,
; e quando
,
.
Substituindo:
Expandindo a expressão dentro da integral:
Então, temos:
Calculando as integrais:
Substituindo:
Passo 8
Agora, substituímos esse resultado na integral externa e resolvemos com relação a
:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então
ou
. Quando
,
; e quando
,
.
Substituindo:
Simplificando a fração:
Dividindo numerador e denominador por 3:
Resposta
A integral tripla vale
.