Use o teste da integral para determinar se a série sumn=1^infty e^-2 n converge ou diverge. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Integral para descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos revisar o que é o Teste da Integral e ver se as condições necessárias estão ok para aplicá-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste funciona assim: se você tem uma série , onde e essa função é positiva, contínua e decrescente para (onde é algum número natural), então:
  • Se a integral converge, a série também converge.
  • Se a integral diverge, a série também diverge.

Passo 3

Vamos identificar a função an = e^-2n Rightarrow f(x) = e^-2x da nossa série. Temos:
f'(x) = -2e^-2x < 0 para todo x
Agora, precisamos verificar se atende às condições do Teste da Integral:
  1. Positiva: é sempre positiva para qualquer .
  2. Contínua: A função exponencial é contínua para todo .
  3. Decrescente: Derivando , temos:
Isso mostra que é decrescente.
Como todas as condições estão satisfeitas, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral imprópria:
integral1^infty e^-2x dx
Para resolver essa integral, vamos encontrar a antiderivada de integral e^-2x dx = -12 e^-2x + C :
limb to infty ( -12 e^-2b + 12 e^-2 cdot 1 ) = 0 + 12 e^-2
Agora, avaliamos os limites:
Portanto, a integral converge e seu valor é .

Passo 5

Como a integral converge, pelo Teste da Integral, a série também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Integral.

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