Use o teste da integral para determinar se a série
converge ou diverge. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Integral para descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos revisar o que é o Teste da Integral e ver se as condições necessárias estão ok para aplicá-lo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste funciona assim: se você tem uma série
, onde
e essa função
é positiva, contínua e decrescente para
(onde
é algum número natural), então:
- Se a integral
converge, a série também converge. - Se a integral
diverge, a série também diverge.
Passo 3
Vamos identificar a função
da nossa série. Temos:
Agora, precisamos verificar se
atende às condições do Teste da Integral:
- Positiva:
é sempre positiva para qualquer . - Contínua: A função exponencial é contínua para todo
. - Decrescente: Derivando
, temos:
Isso mostra que
é decrescente.
Como todas as condições estão satisfeitas, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral imprópria:
Para resolver essa integral, vamos encontrar a antiderivada de
:
Agora, avaliamos os limites:
Portanto, a integral converge e seu valor é
.
Passo 5
Como a integral
converge, pelo Teste da Integral, a série
também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Integral.