Utilize a matriz exponencial para achar a solução geral do sistema:
X' = [[1, 0], [0, 2]] X + (t, e^(4t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações diferenciais que usa a matriz exponencial para encontrar a solução geral. O sistema é:
Aqui, é um vetor solução, é a matriz , e é o termo não homogêneo . Vamos precisar calcular a matriz exponencial de e depois achar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea . A solução é dada por:
Como é uma matriz diagonal, a matriz exponencial é fácil de calcular. Cada elemento na diagonal é exponenciado separadamente:
Então, a solução homogênea fica:

Passo 3

Agora, vamos achar uma solução particular para o sistema completo , onde . Usaremos o método da variação das constantes.
A solução particular é dada por:
Vamos calcular :
Então:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada componente:
Para a primeira componente:
Usamos integração por partes, onde e . Isso dá e . Então:
Para a segunda componente:
Então, a integral completa fica:

Passo 5

Multiplicamos pela matriz exponencial para encontrar :
Multiplicando as matrizes:

Passo 6

A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da particular:

Resposta

A solução geral do sistema é:

Exercícios relacionados