Utilize a matriz exponencial para achar a solução geral do sistema:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações diferenciais que usa a matriz exponencial para encontrar a solução geral. O sistema é:
Aqui,
é um vetor solução,
é a matriz
, e
é o termo não homogêneo
. Vamos precisar calcular a matriz exponencial de
e depois achar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea
. A solução é dada por:
Como
é uma matriz diagonal, a matriz exponencial
é fácil de calcular. Cada elemento na diagonal é exponenciado separadamente:
Então, a solução homogênea fica:
Passo 3
Agora, vamos achar uma solução particular para o sistema completo
, onde
. Usaremos o método da variação das constantes.
A solução particular é dada por:
Vamos calcular
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada componente:
Para a primeira componente:
Usamos integração por partes, onde
e
. Isso dá
e
. Então:
Para a segunda componente:
Então, a integral completa fica:
Passo 5
Multiplicamos pela matriz exponencial
para encontrar
:
Multiplicando as matrizes:
Passo 6
A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da particular:
Resposta
A solução geral do sistema é: